高考数学母题：看出平面的法向量快解立体几何试题.docVIP

[中国高考数学母题一千题](第0001号) 愿与您共建真实的中国高考数学母题(王老师:XXXXX) 看出平面的法向量.快解立体几何试题 看出特殊平面法向量的方法和枝巧 在使用向量法的条件下,正确、快速的求出平面的法向量无疑是取胜高考立体几何试题的关键;“看出”特殊平面法向量,是解决高考立体几何试题的本领;掌握“看出”的方法和枝巧,等于你拥有了解决问题的利器. [母题结构]:特殊平面的法向量:①若平面α∥平面xOy,则平面α的法向量为m=(0,0,1);②若平面α过z轴和点D(a,b,0),则平面α的法向量为m=(b,-a,0);③若z轴∥平面α,且平面α与x,y轴分别交于点A(a,0,0),B(0,b,0),则平面α的法向量为m=(,,0);④若平面α与坐标轴分别交于点A(a,0,0),B(0,b,0),C(0,0,c),则平面α的法向量为m= (,,). [母题解析]:①是显然的;②由平面α 的过z轴平面α法向量在平面xOy 內,且与=(a,b,0)垂直平面α的法向量为m=(b,-a,0);③由z轴∥平面α平面α法向量在平面xOy內,且与= (-a,b,0)垂直平面α的法向量为m=(,,0);④由m=0,m=0平面α的法向量为m=(,,). 1.特殊平面法向量 子题类型Ⅰ:(2007年湖北高考试题)如图,在三棱锥V-ABC中,VC⊥底面ABC,AC⊥BC,D是AB 的中点,且AC=BC=a,∠VDC=θ(0θ).(Ⅰ)求证:平面VAB⊥平面VCD; (Ⅱ)当角θ变化时,求直线BC与平面VAB所成的角的取值范围. [解析]:分别以直线CA、CB、CV为x、y、z轴,建立空间直角坐标系,如图,则A(a,0,0), B(0,a,0)D(,,0);设V(0,0,h); (Ⅰ)由=(-a,a,0),=(,,0),=(0,0,h)=0,=0AB⊥ OD,AB⊥CVAB⊥平面VCD平面VAB⊥平面VCD; (Ⅱ)由=(-a,0,h),=(0,a,0),设平面VAB的法向量m=(x,y,z),由m=0,m=0m=(h,h,a)cos,m= =0cos,m,m∈(,)直线BC与平面VAB所成角的取值范围是(0,). [点评]:若平面α在x、y、z轴上的截距分别为a、b、c(abc≠0),则平面α的法向量为m=(,,);利用此结果可巧求斜平面的法向量,剩下的问题是按程序,书写求解过程,并取m与平行的法向量(化去分母). 2.延展平面求截距 子题类型Ⅱ:(2009年重庆高考试题)如图,在四棱锥S-ABCD中,AD ∥BC且AD⊥CD,平面CSD⊥平面ABCD,CS⊥DS,CS=2AD=2,E为BS的中点, CE=,AS=.求:(Ⅰ)点A到平面BCS的距离; (Ⅱ)二面角E-CD-A的大小. [解析]:在长方体中作出四棱锥S-ABCD,如图: (Ⅰ)AD∥BCAD∥平面BCS点A到平面BCS的距离=点D到平面BCS的距离;由AD⊥CD,平面CSD⊥平面ABCDAD⊥平面CSD,又AD∥BCBC⊥平面CSDBC⊥SD,又CS⊥DSDS⊥平面BCS点D到平面BCS的距离=DS;由AD=1,AS= DS=点A到平面BCS的距离=; (Ⅱ)以S为坐标原点,射线SD、SC分别为x、y轴正方向,建立空间直角坐标系,则A(,1,0),B(0,2,2),C(0,2,0),D(, 0,0)E(0,1,1);设平面ECD的法向量m=(x,y,z),由m=0,m=0m=(,1,1);同理可得平面ACD的法向量n=(,1,0)cosm,n=m,n=二面角E-CD-A的大小为. [点评]:通过延长线段或延展平面,寻找平面与坐标轴的交点,是利用斜平面的法向量公式,“看出”平面法向量的有力手段;在本题中,CE的延长线与z轴交于点(0,0,2)平面ECD在x,y,z轴上的截距分别为,2,2m=(,1,1). 3.平移直角坐标系 子题类型Ⅲ:(2010年江西高考试题)如图,ΔBCD与ΔMCD都是边长 为2的正三角形,平面MCD⊥平面BCD,AB⊥平面BCD,AB=2. (Ⅰ)求点A到平面MBC的距离; (Ⅱ)求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值. [解析]:在长方体中作出几何体,并以B为坐标原点,直线BA、CD的中 垂线分别为y、z轴,建立空间直角坐标系,如图,则A(0,0,2),C(1,,0),D(-1,,0),M(0,,); (Ⅰ)设平面MBC的法向量m=(x,y,z),由m=0,m=0x+y=0,y+z=0,令y=-1得m=(,-1,1);又=(0,0, 2)点A到平面MBC的距离d==; (Ⅱ)设平面ACM的法向量n=(x,y,z),由n=0,n=0y-z=0,x-z=0,令y=1得n=(,1,1),又平面NCD的法向量k=(