高考数学母题：构造二次方程解决解析几何试题.docVIP

[中国高考数学母题一千题](第0001号) 愿与您共建真实的中国高考数学母题(王老师:XXXXX) 构造二次方程.解决解析几何试题 解决解析几何试题的一个技法 解析几何的基本思想是利用代数的方法研究几何问题,因此,方程理论是解析几何的基本工具,其中,构造二次方程解题是一种重要的思想方法. [母题结构]:(Ⅰ)己知x1≠x2,且ax12+bx1+c=0,ax22+bx2+c=0,则x1+x2=-,x1x2=; (Ⅱ)己知(x1,y1),(x2,y2)(x1x2≠0)满足ay2+bxy+cx2=0,则+=-,=. [母题解析]:(Ⅰ)与(Ⅱ)的本质是韦达定理,正确性显然;在解析几何中应用的关键是如何构造二次方程. 1.利用点在曲线上,构造一元二次方程 子题类型Ⅰ:(2011年全国大纲卷高考试题)设两圆C1、C2都和两坐标轴相切,且都过点(4,1),则两圆心的距离|C1C2|=( ) (A)4 (B)4 (C)8 (D)8 [解析]:设圆C1:(x-a)2+(y-a)2=a2,C2:(x-b)2+(y-b)2=b2(a≠b),由C1、C2都过点(4,1)(4-a)2+(1-a)2=a2,且(4-b)2+(1- b)2=b2a,b是方程(4-t)2+(1-t)2=t2,即t2-10t+17=0的两个根a+b=10,ab=17|C1C2|==8.故选(C). [点评]:由同一点在相同条件下的两条曲线上,或由“地位相同”的不同两点在一条曲线上,均可构造一元二次方程. 2.利用“同位”直线,构造一元二次方程 子题类型Ⅱ:(2014年广东高考试题)已知椭圆C:+=1(ab0)的一个焦点为(,0),离心率为. (Ⅰ)求椭圆C的标准方程; (Ⅱ)若动点P(x0,y0)为椭圆外一点,且点P到椭圆C的两条切线相互垂直,求点P的轨迹方程. [解析]:(Ⅰ)令c=,c=,e==a=3,c=b=2椭圆C:+=1; (Ⅱ)设两切线为l1,l2;①当l1⊥x轴或l1∥x轴时,由l1⊥l2l2∥x轴或l2⊥x轴x0=3,y0=2;②当l1不垂直于x轴且不平行于x轴时,设l1,l2的斜率分别为k1,k2,则l1:y-y0=k1(x-x0),代入椭圆C的方程得:(9k12+4)x2+18(y0-k1x0)k1x+9(y0- k1x0)2-36=0;由直线l1与椭圆C相切Δ=0(x02-9)k12-2x0y0k1+y02-4=0k1是方程(x02-9)k2-2x0y0k+y02-4=0的根,同理可得k2也是方程(x02-9)k2-2x0y0k+y02-4=0的根k1k2=;又由l1⊥l2k1k2=-1=-1x02+y02=13,且当x0=3,y0 =2时,也满足x02+y02=13.综上,点P的轨迹方程是x2+y2=13. [点评]:对“同等地位”的两条直线,首先围绕其中一条直线“单方面”展开分析与运算,直至得到关于某量的一元二次方程,同理可得另一条直线对应量也是该一元二次方程的根,通过根与系数的关系,使问题获得干净利落的解决. 3.利用直线与曲线方程,构造二元二次齐次方程 子题类型Ⅲ:(2000年北京安徽春招试题)如图,设点A和B为抛物线y2=4px(p0)上原点 以外的两个动点.已知OA⊥OB,OM⊥AB,求点M的轨迹方程,并说明它表示什么曲线. [解析]:设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB:x=ty+b(b≠0)1=,代入y2=4px得:y2=4px b()2+4pt-4p=0=-;由OA⊥OB=-1-=-1b=4p直线AB:x=ty+4p过定点N(4p, 0),由OM⊥AB点M的轨迹是以ON为直径的圆(去掉坐标原点),方程是x(x-4p)+y2=0(x≠0). [点评]:对于直线l与圆锥曲线相交于A、B两点,且OA与PB的斜率之和或积已知的问题,可设直线l:y=kx+m或x=ty+m(m≠0)1=或1=,然后利用二次项不变,一次项乘或,常数项乘()2或()2的法则,构造关于x,y的二次齐次方程,进而转化为关于的二次方程利用韦达定理解决相关问题. 4.子题系列: 1.(2007年全国高中数学联赛江西初赛试题)若实数x,y满足:+=1,+=1,则x+y= . 2.(2008年全国高中数学联赛浙江初赛试题)已知α,β∈R,直线+=1与+ =1的交点在直线y=-x上,则sinα+cosα+sinβ+cosβ= . 3.(2008年全国高中数学联赛山东初赛试题)F(1,0)为一定点,P(0,b)是y轴上的一动点,点M(a,0)满足=0.若点N满足2+=0,求