高考数学母题：空间向量的基本问题.docVIP

[中国高考数学母题一千题](第0001号) 愿与您共建真实的中国高考数学母题(王老师:XXXXX) 空间向量的基本问题 空间向量的基本运算 空间向量的定义、表示、运算意义、运算法则和运算律等均与平面向量类似,学习、理解、认识空间向量最有效的途径是与平面向量进行类比. [母题结构]: 平面向量 空间向量 向量的坐标a=(x,y); 若A(x1,y1),B(x2,y2),则=(x2-x1,y2-y1). 向量的坐标a=(x,y,z); 若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则=(x2-x1,y2-y1,z2-z1). 向量的运算:若a=(x1,y1),b=(x2,y2) 1.加减运算:ab=(x1x2,y1y2); 2.数乘运算:λa=(λx1,λy1)(λ∈R) 3.数积运算:a.b=x1x2+y1y2. 向量的运算:若a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2), 1.加减运算:ab=(x1x2,y1y2,z1z2); 2.数乘运算:λa=(λx1,λy1,λz1)(λ∈R) 3.数积运算:a.b=x1x2+y1y2+z1z2. 基本结论:a=(x1,y1),b=(x2,y2) 1.a∥bx1:x2=y1:y2;2.a⊥bx1x2+y1y2=0; 3.|a|=;4.cosa,b= 基本结论:a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2), 1.a∥bx1:x2=y1:y2=z1:z2;2.a⊥bx1x2+y1y2+z1z2=0 3.|a|=;4.cosa,b= [解题程序]:空间向量与平面向量类似有三种表示向量的方法:①解析向量(用坐标方式表示的向量);②几何向量(用始点和终点表示的向量);③自由向量(用小写字母表示的向量);在高考中,存在对应的三类基本问题, 1.解析向量 子题类型Ⅰ:(2014年广东高考试题)已知向量a=(1,0,-1),则下列向量中与a成600夹角的是( ) (A)(-1,1,0) (B)(1,-1,0) (C)(0,-1,1) (D)(-1,0,1) [解析]:设所求向量b=(x,y,z),由ab=|a|b|cos600xz,且2(x-z)2=x2+y2+z2.故选(B). [点评]:空间向量与平面向量的区别是解析形式,即坐标表示,平面向量是二维坐标,空间向量则是三维坐标,但其运算法则及基本结论等都是类似的. 2.几何向量 子题类型Ⅱ:(2001年上海高考试题)如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M为AC与BD的 交点,若=a,=b,=c.则下列向量中与相等的向量是( ) (A)-a+b+c (B)a+b+c (C)a-b+c (D)-a-b+c [解析]:由M为BD的中点=(+)=[(a+c)+(b+c)]=-=-a+b+c.故选(A). [点评]:空间向量的几何向量与平面向量的表示和运算完全相同,仅表现在几何图形的拓展上;平行四边形可直观表现两个向量加、减运算的几何意义,而直观表现三个向量加、减运算几何意义的基本模型是平行六面体. 3.自由向量 子题类型Ⅲ:(2015年浙江高考试题)已知e1,e2是空间单位向量,e1e2=0.5,若空间向量b满足 be1=2,be2=2.5,且对于任意x,y∈R,|b-(xe1+ye2)|≥|b-(x0e1+y0e2)|=1(x0,y0∈R),则x0= ,y0= ,|b|= . [解析]:如图,令=e1,=e2,=xe1,=ye2,=xe1+ye2,=b,则b-(xe1+ye2)=-=;由|b-(xe1+ye2)|≥|b-(x0e1+y0e2)|=1当||=1时,PC⊥平面PACB;此时,由b=(x0e1+y0e2)+be1=(x0e12+y0e1e2)+e1,be2=(x0e1e2+ y0e22)+e22=x0+y0,=x0+y0x0=1,y0=2||=1,||=2||=|b|=||=2. [点评]:对空间自由向量,通过赋予自由向量的几何意义,然后在立体图形中解决相关问题,这是一个有效的方法;在本题中,构造向量b-(xe1+ye2),并由此给出模不等式的几何意义是上述解法中最为精彩之处. 4.子题系列: 1.(2008年课标高考试题)已知向量a=(0,-1,1),b=(4,1,0),|λa+b|=,且λ0,则λ= . 2.(2010年广东高考试题)若向量a=(1,1,x),b=(1,2,1),c=(1,1,1),满足条件(c-a)(2b)=-2,则x= . 3.(2010年复旦大学保送生考试试题)设非零向量a=