高考数学母题：构造和差积商函数巧解函数不等式题.docVIP

[高考数学1000个母题] 构造和差积商函数.巧解函数不等式题 抽象函数不等式的一个母题 随着微积分进入高中数学,在高考和竞赛中,流行着一类试题:已知含有抽象函数f(x)和其导数(x)不等式,研究含有函数f(x)和(x)的不等式问题:戓解不等式,戓判断不等式恒成立;我们把此类问题抽象概括为如下母题: [母题结构]:己知函数f(x)满足:G(f(x),(x))0,研究不等式F(f(x),(x))0(戓解不等式,戓不等式恒成立). [解题程序]:首先对不等式F(f(x),(x))0进行等价变形得g(x)0,并逆向联想求导法则,使得(x)=G(f(x), (x)),由已知可得函数g(x)的单调性,根据g(x)的单调性可迎刃解决不等式g(x)0问题. 1.构造和差函数 子题类型Ⅰ:(2011年辽宁高考试题)函数f(x)的定义域为R,f(-1)=2,对任意x∈R,(x)2,则f(x)2x+4的解集为 . [分析]:由f(x)2x+4f(x)-(2x+4)0,可构造函数F(x)=f(x)-(2x+4),由已知可得函数F(x)的单调性,由此解决问题. [解析]:F(x)=f(x)-(2x+4),则F(-1)=0,且(x)=(x)-20F(x)在R上单调递增;所以,f(x)2x+4F(x)0 F(x)F(-1)x-1. [点评]:通过构造和差函数可得如下结论:若定义域为R的函数f(x),g(x)满足:f(a)=g(a),且(x)(x),则不等式f(x)g(x)的解集为{x|xa},不等式f(x)g(x)的解集为{x|xa}. 2.构造积函数 子题类型Ⅱ:(2009年天津高考试题)己知函数f(x)在R上的导函数为(x),且2f(x)+x(x)x2.,下面的不等式在R上恒成立的是( ) (A)f(x)0 (B)f(x)0 (C)f(x)x (D)f(x)x [分析]:由2f(x)+x(x)x2…(*);①当x0时,(*)2xf(x)+x2(x)-x30;②当x0时,(*)2xf(x)+x2(x)-x30; 注意到:(x2f(x)=2xf(x)+x2(x),故考虑构造函数F(x)=x2f(x)-x4. [解析]:令F(x)=x2f(x)-x4,则F(0)=0,(x)=2xf(x)+x2(x)-x3;①当x0时,(x)0F(x)在(0,+∞)内递增 F(x)F(0)x2f(x)-x40f(x)x20②当x0时,(x)0F(x)在(-∞,0)内递减F(x)F(0)x2f(x)-x4 0f(x)x20;③当x=0时,由(*)f(0)0.综上,f(x)0.故选(A). [点评]:通过构造积函数可得如下结论:若定义域为R的函数f(x),g(x)满足:f(a)=0或g(a)=0,且(x)g(x)+f(x) (x)0,则不等式f(x)g(x)0的解集为{x|xa},不等式f(x)g(x)0的解集为{x|xa};进一步可得:若定义域为R的函数f(x),g(x),h(x)满足:f(a)g(a)=h(a),且(x)g(x)+f(x)(x)(x),则当xa时,f(x)g(x)h(x),当xa时,f(x) g(x)h(x). 3.构造商函数 子题类型Ⅱ:(原创题)己知f(x)是定义在R上的可导奇函数,且当x0时,x(x)f(x);若|b|f(|a|)|a|f(|b|)(ab≠0),则( ) (A)ab (B)ab (C)a2b2 (D)a2b2 [分析]:由ab≠0,所以,|b|f(|a|)|a|f(|b|),故考虑构造函数F(x)=,并研究函数F(x)在(0,+∞)内的单调性. [解析]:令F(x)=,则F(x)是偶函数,且当x0时,(x)=0F(x)在(-∞,0)内递减F(x)在(0,+∞)内递增;所以,|b|f(|a|)|a|f(|b|)F(|a|)F(|b|)|a||b|a2b2.故选(C). [点评]:通过构造商函数可得如下结论:若定义域为R的函数f(x),g(x)满足:(x)g(x)-f(x)(x)0,则F(x)=在(-∞,+∞)上单调递增;进一步可得:若f(a)=0,g(a)≠0,不等式f(x)g(x)0的解集为{x|xa},不等式f(x)g(x)0的解集为{x|xa}. 4.子题系列: 1.(2015年福建高考试题)若定义在R上的函数f(x)满足f(0)=-1,其导函数(x)满足(x)k1,则下列结论中一定错误的是( ) (A)