高考数学母题：理解虚数单位快解高考试题.docVIP

[中国高考数学母题一千题](第0001号) 愿与您共建真实的中国高考数学母题(王老师:XXXXX) 理解虚数单位.快解高考试题 虚数单位的基本性质 复数的引入来自于解方程x2+1=0的需要,即定义:方程x2+1=0的根i是虚数单位;由于课标对复数要求的降低,着重考查虚数单位的基本性质将成为热点. [母题结构]:(虚数单位的基本性质)①i2=-1,=-i;②i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i(n∈Z);③使in=-1立的最小正整数n=2;使in=1的最小正整数n=4. [母题解析]:略. 1.虚数单位的运算 子题类型Ⅰ:(2015年四川高考试题)设i是虚数单位,则复数i3-=( ) (A)-i (B)-3i (C)i (D)3i [解析]:由i3-=-i+2i=i.故选(C). [点评]:虚数单位的运算主要是i2=-1,由此可得i3=-i,i4=1,=-i;利用这些结论,可快解有关问题. 2.虚数单位的幂 子题类型Ⅱ:(1993年三南高考试题)i2n-3+i2n-1+i2n+1+i2n+3的值为( ) (A)-2 (B)0 (C)2 (D)4 [解析]:①当n为偶数时,令n=2k,则i2n-3+i2n-1+i2n+1+i2n+3=i4k-3+i4k-1+i4k+1+i4k+3=i+(-i)+i+(-i)=0;②当n为奇数时,令n=2k+1, 则i2n-3+i2n-1+i2n+1+i2n+3=i4k-1+i4k+1+i4k+3+i4k+5=(-i)+i+(-i)+i=0.综上,i2n-3+i2n-1+i2n+1+i2n+3=0.故选(B). [点评]:计算in,要把其指数n写成4k+r(0≤r4)的形式,并对n分4种情况:n=4k,n=4k+1,n=4k+2,N=4k+3(k,r∈Z)求解. 3.活用虚数单位 子题类型Ⅲ:(2015年课标Ⅰ高考试题)已知复数z满足(z-1)i=1+i,则z=( ) (A)-2-i (B)-2+i (C)2-i (D)2+i [解析]:由(z-1)i=1+iz-1==+1=-i+1z=2-i.故选(C). [点评]:灵活运用虚数单位的基本性质是高考的基本要求,也是高考的命题热点. 4.子题系列: 1.(2010年四川高考试题)i是虚数单位,计算i+i2+i3=( ) (A)-1 (B)1 (C)-i (D)i 2.(2005年湖南高考试题)复数z=i+i2+i3+i4的值是( ) (A)-1 (B)0 (C)1 (D)i 3.(2007年课标高考试题)i是虚数单位,i+2i2+3i3+…+8i8= (用a+bi的形式表示,a,b∈R). 4.(2010年四川高考试题)复数-i+=( ) (A)-2i (B)i (C)0 (D)2i 5.(2008年重庆高考试题)复数1+=( ) (A)1+2i (B)1-2i (C)-1 (D)3 6.(2015年四川高考试题)设i是虚数单位,则复数i-= . 7.(2015年湖北高考试题)i是虚数单位,i607=( ) (A)i (B)-i (C)1 (D)-1 8.(2011年辽宁高考试题)i为虚数单位,+++=( ) (A)0 (B)2 = 1 \* roman i (C)-2 = 1 \* roman i (D)4 = 1 \* roman i 9.(2008年湖南高考试题)复数(i-)3等于( ) (A)8 (B)-8 (C)8i (D)-8i 10.(2012年广东高考试题)设i为虚数单位,则复数=( ) (A)-4-3i (B)-4+3i (C)4+3i (D)4-3i 11.(2011年重庆高考试题)复数=( ) (A)--i (B)-+i (C)-i (D)+i 12.(2009年广东高考试题)设z是复数,α(z)表示满足zn=1的最小正整数n,则对虚数单位i,α(i)=( ) (A)8