高考数学母题：棱锥问题.docVIP

高考数学母题规划,助你考入清华北大！王老师(电话:XXXXX)数学丛书,给您一个智慧的人生！ 高考数学母题 [母题]Ⅰ(14-31):棱锥问题(345) 891 棱锥问题 [母题]Ⅰ(14-31):(2010年全国Ⅱ高考试题)已知正四棱锥S-ABCD中,SA=2,那么当该棱锥的体积最大时,它的高为( ) (A)1 (B) (C)2 (D)3 [解析]:令高为h,底边长为a,则a2+h2=12,体积V=a2h;由12=a2+h2=a2+a2+h2≥3,当且仅当a2=h2 h=2时,等号成立.故选(C). [点评]:如图,正四棱锥V-ABCD中,顶点V在底面上的射影为O,取AD的中点E，则有四个直角三角形:Rt△VDE、Rt△VEO、Rt△VDO、Rt△ODE,其中包含了侧面上的斜高VE、侧棱与底面所成角∠VDO、侧面与底面所 成角∠VEO、侧面与侧面所成角(过A作AF垂直VB于F,连接CF,由三角形全等可证CF垂直 于VB,∠AFC即为二面角A－VB－C的平面角)等;牢固掌握这四个直角三角形,可以建立正四棱 锥比较全面的认识,方便地解决有关问题,由此类比到正棱锥,可达到解一题、会一类. [子题](1):(1993年全国高考试题)若正棱锥的底面边长与侧棱长相等,则该棱锥一定不是( ) (A)三棱锥 (B)四棱锥 (C)五棱锥 (D)六棱锥 [解析]:正四两面体、底面边长为a,高为a的正四棱锥、底面边长为a,高为a的正五棱锥均满足底面边长与侧棱长相等;由正六边形的中心与顶点的距离=边长该棱锥一定不是正六棱锥.故选(D). 注:对棱锥,尤其是三棱锥、四棱锥、六棱锥的考查是高考的重点,解决棱锥问题的关键是确定顶点在底面上射影的位置,构造直角三角形解决问题. [子题](2):(2011年辽宁高考试题)如图,四棱锥S-ABCD的底面为正方形,SD⊥底面ABCD, 则下列结论中不正确的是( ) (A)AC⊥SB (B)AB∥平面SCD (C)SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角 (D)AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角 [解析]:由AC⊥BD及三垂线定理知AC⊥SB;由AB∥CDAB∥平面SCD;设AC与BD交于点O,则SA与平面SBD所成的角=∠ASO,SC与平面SBD所成的角=∠CSO,由∠ASO=∠CSOSA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角;由AB与SC所成的角=∠SCD,DC与SA所成的角=900AB与SC所成的角不等于DC与SA所成的角.故选(D). 注:底面为特殊四边形(如正方形、矩形、平行四边形、菱形、直角梯形、等腰梯形等)的四棱锥是高考的重中之重,解决问题的关键是灵活利用底面四边形的性质. [子题](3):(2009年四川高考试题)如图,已知六棱锥P-ABCEF的底面是正六边形, PA⊥平面ABC,PA=2AB,则下列结论正确的是( ) (A)PB⊥AD (B)平面PAB⊥平面PBC (C)直线BC∥平面PAE (D)直线PD与平面ABC所成的角为450 [解析]:若PB⊥AD,由三垂线定理知AB⊥AD,AD与AB不相互垂直,排除(A);若平面PAB⊥平面PBC,由平面PAB⊥平面ABC 平面PBC与平面ABC的交线BC⊥平面PABBC⊥AB,排除(B);若直线BC∥平面PAE,则BC∥AE,排除(C);设正六边形边长为a,则AD=2a,PA=2AB=2a,由PA⊥平面ABCPA⊥AD∠PDA=450直线PD与平面ABC所成的角为450.故选(D). 注:关于底面是正六边形的六棱锥,一要关注顶点在底面上射影的位置,并关充分利用垂直关系;二要掌握正六边形的性质,并灵活应用于解题中. 892 [母题]Ⅰ(14-31):棱锥问题(345)