高考数学母题：构造几何模型巧解立体几何把关题.docVIP

第8讲:构造几何模型巧解立体几何把关题 59 第8讲:构造几何模型.巧解立体几何把关题 立体几何中的多选填空题是安徽高考的特色题型,也是重要的把关题型.构造几何模型,即把题中的几何体放置到长方体中,是解答立体几何问题的重要手段,尤其在解决有关四面体问题中最为突出,任意一个正四面体都可放置到正方体中,任意一个对棱相等的四面体都可放置到长方体中,任意一个四面体都可放置到平行六面体中.正方体和长方体是立体几何中的基本几何体,也是立体几何中最重要的几何模型.正方体和长方体不仅有其知识内容,而且具有方法功能. 例1:正方体中的几何体. [始源问题]:(2007年安徽高考试题)在正方体上任意选择4个顶点,它们可能是如下各种几何体的4个顶点,这些几何形体是 (写出所有正确结论的编号). ①矩形;②不是矩形的平行四边形;③有三个面为等腰直角三角形,另一个面为等边三角形的四面体;④每个面都是等边三角形的四面体;⑤每个面都是直角三角形的四面体. [解析]:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,四边形AB1C1D满足①,故①正确;四面体A-A1BD满足③,故③正确;四面体D-A1BC1满足④,故④正确;四面体D1-DCB满足⑤,故⑤正确;②不正确.综上,命题正确的是:①③④⑤. 正方体是空间图形中内涵丰富的几何图形之一,它不仅能反映空间中的各种位置关系,而且通过对其截割可得多种多样的几何体.正方体是立体几何研究的一个重要载体. [原创问题]:在正方体上任意选择5个顶点,它们可能是如下各种几何体的5个顶点,这些几何形体是 (写出所有正确结论的编号). ①底面为正方形的四棱锥;②底面为矩形(非正方形)的四棱锥;③底面为平行四边形(非矩形)的四棱锥;④底面重合的两个全等的正三棱锥组成的六面体;⑤面重合的两个不全等的正三棱锥组成的六面体. [解析]:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,A1-ABCD满足①,故①正确;A1-ABC1D1满足②,故②正确;B1-A1BC1-D满足④,故④正确;B-ACB1-D1满足⑤,故⑤正确;对于④,正方体ABCD-A1B1C1D1中,共面的4点不构成平行四边形(非矩形),④错.故选①②④⑤. [原创问题]:在三棱锥A-BCD中,侧面ABD、ACD是全等的直角三角形,AD是公共的斜边,且AD=,BD=CD=1,另一侧面ABC是正三角形.给出下列命题:①AD⊥BC;②点A到平面BCD的距离=1;③二面角B-AD-C的大小为1200;④三棱锥A-BCD外接球的表面积=3π;⑤在三棱锥A-BCD内的球体积的最大值为.其中正确的命题的序号是 (注:把你认为正确的命题的序号都填上). A [解析]:把三棱锥A-BCD放置于正方体中, 易知①②正确;过点B作BH⊥AD于点H,在 Rt△ADB中,BH=/3;在△BCH中,CH=BH, C BC=cos∠BHC=-1/2∠BHC=1200 B D 二面角B-AD-C的大小为1200;三棱锥A-BCD外接球就是正方体的外接球,其半径R=外接球的表面积=3π;设体积的最大的球半轴为r,球心为P,则VP-BCD+VP-ABD+VP-ACD+VP-ABC=VA-BCD(++)r=r1V球.故选①②③④. 例2:正方体中的位置问题. [始源问题]:(2013年安徽高考试题)如图, D1 C1 正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,p为BC的中点, A1 B1 Q为线段CC1上的动点,过点A,P,Q的平面截该 正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是 D C (写出所有正确命题的编号). A B ①当0CQ时,S为四边形;②当CQ=时,S为等腰梯形;③当CQ=时,S与C1D1的交点R满足C1R=;④当CQ1时,S 60 第8讲:构造几何模型