高考数学母题：圆锥曲线的通径公式和性质.docVIP

2017年课标高考母题 备战高考数学的一条捷径.预测高考试题的有效手段 281 [中国高考数学母题](第091号) 圆锥曲线的通径公式和性质 过圆锥曲线的焦点且垂直于过焦点的对称轴的垂线被圆锥曲线所截得的线段叫做圆锥曲线的通径,通径是圆锥曲线特殊的焦点弦,通径不仅有统一的公式,而且还有其绝妙性质. [母题结构]:(Ⅰ)(公式)①抛物线的通径长=2p;②椭圆、双曲线的通径长=2; (Ⅱ)(性质)①通径是圆锥曲线最短的焦点弦;②点M是圆锥曲线C的准线与其对称轴的交点,过点M作曲线C的两条切线,切点分别为A,B,则切点弦AB是曲线C的通径,且切线MA,MB的斜率kMA,kMB满足:|kMA|=|kMB|=e(e是曲线C的离心率). [母题解析]:略. 1.抛物线的通径 子题类型Ⅰ:(2011年高考课标试题)已知直线l过抛物线C的焦点,且与C的对称轴垂直,l与C交于A,B两点,|AB|=12,P为C的准线上一点,则ΔABP的面积为( ) (A)18 (B)24 (C)36 (D)48 [解析]:由|AB|=2p=12p=6ΔABP的面积=p2=36.故选(C). [点评]:关于抛物线抛物线C:y2=2px(p0)的通径:①通径长=2p;②通径端点A(,p),B(,-p);③抛物线C在端点处的切线过点(-,0). [同类试题]: 1.(1992年全国高考试题)圆心在抛物线y2=2x上,且与x轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是( ) (A)x2+y2-x-2y-=0 (B)x2+y2+x-2y+1=0 (C)x2+y2-x-2y+1=0 (D)x2+y2-x-2y+=0 2.(2004年全国Ⅰ高考试题)设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线l与抛物线有公共点,则直线l的斜率的取值范围是( ) (A)[-,] (B)[-2,2] (C)[-1,1] (D)[-4,4] 2.椭圆的通径长 子题类型Ⅱ:(2016年高考全国丙卷试题)已知O为坐标原点,F是椭圆C:+=1(ab0)的左焦点,A,B分别为C的左,右顶点.P为C上一点,且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为( ) (A) (B) (C) (D) [解析]:设E(0,m),由PF∥OE|MF|:|OF|=|AF|:|AO||MF|=;由ON∥MF|ON|: |MF|=|BO|:|BF||MF|==e=.故选(A). [点评]:椭圆、双曲线的通半径长具有统一公式=;P是椭圆或双曲线上一点,则PF2⊥F1F2PF1的中点在y轴上. [同类试题]: 3.(2013年高考课标Ⅱ试题)设椭圆C:+=1(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2,P是C上的点PF2⊥F1F2,∠PF1F2=300, 282 备战高考数学的一条捷径.预测高考试题的有效手段 2017年课标高考母题 则C的离心率为( ) (A) (B) (C) (D) 4.(2015年高考课标Ⅰ试题)已知椭圆E的中心在坐标原点,离心率为,E的右焦点与抛物线C:y2=8x的焦点重合,A,B是C的准线与E的两个交点,则|AB|=( ) (A)3 (B)6 (C)9 (D)12 3.双曲线的通径 子题类型Ⅲ:(1993年第四届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)F1,F2是双曲线x2-3y2=3的左、右焦点,A,B两点在右支上,且与F2在同一直线上,则|F1A|+|F1B|的最小值是 . [解析]:由|AF1|-|AF2|=2a,|BF1|-|BF2|=2a|F1A|+|F1B|=4a+|AB|≥4a+(通径长)=. [点评]:通径是圆锥曲线最短的焦点弦.这是通径的最根本的性质,对双曲线该性质只有在弦的 两端点在同一支时成立,当弦的两端点在两支时,焦点弦长的最小值为2a,故双曲线的焦点弦长的最小值=min{2a,}. [同类试题]: 5.(2016年山东高考试题)已知双曲线E1:=1(a0,b0),若矩形ABCD的四个顶点在E上,AB、CD的中点为E的两个焦点,且2|AB|=3|BC|,则E的离心率是