高考数学母题：圆锥曲线的切线性质高考试题的无穷魅力.docVIP

[中国高考数学母题一千题](第0001号) 愿与您共建真实的中国高考数学母题(王老师:XXXXX) 圆锥曲线的切线性质.高考试题的无穷魅力 以圆锥曲线的切线性质为背景的高考试题 圆锥曲线的切线有许多绝妙的性质,高考命题专家通过对圆锥曲线的切线性质的挖掘、引申、演变,命制了很多具有圆锥曲线的切线背景、耐人寻味的优秀试题,可谓精彩纷呈,充分彰显了高考试题的无穷魅力. [母题结构]:己知椭圆C:+=1(ab0)的一个焦点为F,相应于焦点F的准线为l,点P、Q分 别在椭圆C与准线l上,则直线PQ是椭圆C的切线PF⊥QF; [母题解析]:(Ⅰ)设P(acosθ,bsinθ),Q(,t),F(c,0),则PF⊥QF=0(acosθ- c)(-c)+btsinθ=0t=(c-acosθ)kPQ===-直线PQ是椭圆C的切线;该结论可类比移植到双曲线与抛物线中;由此可得:已知圆锥曲线的一个焦点是F,过F的焦点弦的两端点为A,B,分别过A,B作圆锥曲线的切线,其交点为P,则点P的轨迹是相应于焦点F的准线,且PF⊥AB. 1.相切的充要条件 子题类型Ⅰ:(2012年安徽高考试题)如图,F1(-c,0),F2(c,0)分别是椭圆C:=1 (ab0)的左,右焦点,过点F1作x轴的垂线交椭圆的上半部分于点P,过点F2作直线PF2的 垂线交直线x=于点Q.(Ⅰ)若点Q的坐标为(4,4),求椭圆C的方程; (Ⅱ)证明:直线PQ与椭圆C只有一个交点. [解析]:(Ⅰ)由题知P(-c,)=-;由PF2⊥QF2=直线QF2:y=(x-c),令x=y=( -c)=2aQ(,2a)=4,2a=4a=2,c=1椭圆C:+=1; (Ⅱ)直线PQ:y=x+a,代入=1得:x2+2cx+c2=0x=-c直线PQ与椭圆C只有一个交点. [点评]:用尺规作图法,作圆锥曲线的切线,是解析几何的重要课题之一,其本质是寻求直线与圆锥曲线相切的条件和性质;如椭圆的切线有如下结论:设Q(x0,y0)(x0y0≠0)为椭圆C:=1上一点.过点Q作x轴的垂线,垂足为E.取点A(0,a),连接AE.过点A作AE的垂线交x轴于点D.点G是点D关于y轴的对称点,则直线QG与椭圆C相切于点Q. 2.相切中的垂直关系 子题类型Ⅱ:(2006年全国高中数学联赛河北预赛试题)设点P(x0,y0)(y0≠0)是椭圆C:+=1(ab0)左准线l上一动点,过点P作C的切线,设切点分别为A,B,直线AB交左准线l与Q点. (Ⅰ)证明:直线AB与x轴交于定点F,且PF⊥AB; (Ⅱ)若椭圆左准线方程为x=-2,椭圆的离心率e=,过点Q再作C的两条切线,切点为M,N,求椭圆内内接四边形AMBN面积的最小值. [解析]:(Ⅰ)设A(x1,y1),B(x2,y2),P(-,t),则切线PA:+=1,PB:+=1;由切线 PA与PB均过点P-+=1,且-+=1点A与均在直线-+=1上切点弦AB: -+=1AB与x轴交于定点F(-c,0),且kAB=,又kPF=-PF⊥AB; (Ⅱ)由=2,e=a=,c=1b=1椭圆C:+y2=1,切点弦AB:-x+ty=1Q(-2,-)切点弦MN:-x-y=1过定点F,且MN⊥AB;由(t2+2)x2+4x+2-2t2=0|AB|=2;同理可得:|MN|=2四边形AMBN面积S=|AB||MN|=8≥8=,当且仅当t2+2=2t2+1t=1. [点评]:圆锥曲线的切线可以产生许多垂直关系,如已知点P是过椭圆G:=1(ab0) 左准线与x轴交点M的弦AB在两端点处的切线交点,F为椭圆G的左焦点,则:PF⊥x轴. 3.相切中的四点共圆 子题类型Ⅲ:(2006年浙江高考理科试题)如图,椭圆=1(ab0)与过点A(2,0), B(0,1)的直线有且只有一个公共点T,且椭圆的离心率e=.(Ⅰ)求椭圆方程; (Ⅱ)设F1、F2分别为椭圆的左、右焦点,M为线段AF1的中点,求证:∠ATM=∠AF1T. [解析]:(Ⅰ)由e==a=2b椭圆:x2+4y2=4b2;设T(2bcosθ,bsinθ)(0θ),则切线AB:xcosθ+2ysinθ=2b;由切线AB过点A(2,0),B(0,1)cosθ=b,sinθ=bb=椭圆:x2+4y2=2; (Ⅱ)由T(1,),F1(-,0),F2(,0)M(1+,0)=(1,-),=(,-),=(,0),=(1+,) cos∠ATM=cos,=,cos∠AF1T=cos,=cos∠ATM=cos∠AF1T∠ATM=∠AF1T. [点评]:关于椭圆的切线有如下结论:如图过椭圆C:=1(ab0)上位于第一象限内的一点T 作椭圆的切线,与x轴、y轴分别交于点A、B，F1、F2分别为椭圆C的左右焦点,则∠ABF2=∠AF1T,即 B