高考数学母题：圆锥曲线內接四边形中的极点与极线.docVIP

[中国高考数学母题一千题](第0001号) 愿与您共建真实的中国高考数学母题(王老师:XXXXX) 圆锥曲线內接四边形中的极点与极线 追根溯源探本质.目标导引寻解法 圆锥曲线內接四边形中,存在三对极点与极线,她们是高考命题取之不尽的源泉;把握命题规律,在制高点处思考问题,可探究问题的本质,“识破”试题的“玄机”,引导试题求解. [母题结构]:(圆锥曲线內接四边形中的极点与极线):如图,设A、B、C、D是一圆锥曲线上 的四点,CA与BD交于点P,AD与CB交于点Q,AB与CD交于点S,则QS是点P对应的极线,PS 是点Q对应的极线,PQ是点S对应的极线. [母题解析]:圆锥曲线內接四边形中的极点与极线是高等几何中的一个重要定理,內含丰 富,由此定理可直接得到一类高考试题的结论,从而引导我们寻找试题的解法. 1.极线过定点 子题类型Ⅰ:(2010年江苏高考试题)在平面直角坐标系xOy中,如图,已知椭圆+=1的左、右顶点为A、B,右焦点为F,设过点T(t,m)的直线TA、TB与椭圆分别交于点M(x1,y1)、N(x2,y2),其中m0,y10,y20. (Ⅰ)设动点P满足PF2-PB2=4,求点P的轨迹; (Ⅱ)设x1=2,x2=,求点T的坐标; (Ⅲ)设t=9,求证:直线MN必过x轴上的一定点(其坐标与m无关). [解析]:(Ⅰ)设点P(x,y),由PF2-PB2=4x=点P的轨迹为直线x=; (Ⅱ)由x1=2,x2=M(2,),N(,-)直线AM:y=x+1;直线BN:y=x-T(7,); (Ⅲ)由点T(9,m)对应的极线MN:x+=1恒过定点(1,0);故由点T(9,m)求直线MN的方程是解题关键:令直线:y=(x- a),代入+=1得:[5(9-a)2+9m2]x2-18am2x+9a2m2-45(9-a)2=0;当a=-3时,由xA=-3及xAxM=xM=-3 M(-3,);当a=3时,由xB=3及xBxN=xN=3N(3,-); 令点D(1,0),则=(-4,),=(2,-)∥直线MN必过x轴上的一定点D(1,0). [点评]:已知A、B、C、D是一圆锥曲线上的四点,CA与BD交于点P,AD与CB交于点Q,AB与CD交于点S,若点P在定直线上,则直线AB与CD均过定点S;对此类问题:根据点P在定直线上,设点P(含参数),写出点P对应的极线MN,由此可求出定点S;余下的问题是使用中学知识,写出解题过程. 2.极点在定直线上 子题类型Ⅱ:(2011年四川高考理科试题)椭圆有两顶点A(-1,0)、B(1,0),过其焦点F(0,1) 的直线l与椭圆交与C、D两点,并与x轴交于点P.直线AC与直线BD交于点Q. (Ⅰ)当|CD|=时,求直线l的方程; (Ⅱ)当点P异于A、B两点时,求证:为定值. [解析]:(Ⅰ)设椭圆:+=1(ab0),则b=1,a2=b2+1=2椭圆:x2+=1;设C(x1,y1),D(x2,y2),直线l:y=kx+1,代入x2 +=1得:(2+k2)x2+2kx-1=0x1+x2=-,x1x2=-|CD|=|x1-x2|=;由|CD|= =k=直线l:y=x+1; (Ⅱ)设点P(t,0),则点Q在点P对应的极线:tx=1上Q(,yQ)=t=1;故只须证xQ=:设点P(t,0),则直线l:x +ty=t,代入2x2+y2=2得:(2t2+1)y2-4t2y+2t2-2=0y1+y2=,y1y2=y1+y2-2y1y2==(y1+y2);由直线AC: y=(x+1),BD:y=(x-1)(xQ+1)=(xQ-1)(xQ+1)=(xQ-1)(-)xQ =-(+)xQ=-==t=1为定值. [点评]:已知A、B、C、D是一圆锥曲线上的四点,CA与BD交于点P,AD与CB交于点Q,AB与CD交于点S,若点P是定点,则在点S定直线上;充分利用该结果的引领功能,不仅可以发现解题目标,而且在书写解题过程时,可以直接利用其中的结果,因此,剩下的书写解题过程,实质是“绕”给评卷者. 3.极线的斜率 子题类型Ⅲ:(2013年江西高考试题)椭圆C:+=1(ab0)的离心率e=,a+b=3. (Ⅰ)求椭圆C的方程; (Ⅱ)如图,A,B,D是椭圆C的顶点,P是椭圆C上除顶点外的任意点,直线DP交x轴于点N直线AD交BP于点M,设BP的斜率为k,MN的斜率为m,证明:2m-k为定值. [解析]:(Ⅰ)由e==a=2b;又a+b=3a=2,b=1椭圆C:+y2=1; (Ⅱ)设点P(2cosθ,sinθ),则直线AP:y=(x+2)与BD:+y=1的交点Q(,)点Q对应的极线MN:x+y=1m=-,而k=2m-k=-- =;正式解题过程:设点P(2cosθ,sinθ),则k=直线BP:y=(