高考数学母题：圆锥曲线上三角形面积问题的类型.docVIP

[中国高考数学母题一千题](第0001号) 愿与您共建真实的中国高考数学母题(王老师:XXXXX) 圆锥曲线上三角形面积问题的类型 圆锥曲线上三角形面积的基本公式 若点A、B在曲线G上,点P是直线AB外的一点,关于ΔABP的面积问题,称为圆锥曲线上的三角形面积问题;该类问题是高考的热点,探究其问题类型和基本公式十分必要. [母题结构]:己知点A、B在曲线G上,点P是直线AB外的一点,探究ΔABP面积的公式. [解题程序]:设A(x1,y1),B(x2,y2),有:(Ⅰ)(基本公式)SΔABP=|AB|d,其中,d是点P到直线AB的距离;(Ⅱ)(拆分公式)①若直线AB与x轴交于点M(m,0),则SΔABP=|m||y1-y2|;②若直线AB与y轴交于点M(0,m),则SΔABP=|m||x1-x2|. 1.选择面积公式 子题类型Ⅰ:(2012年重庆高考试题)已知椭圆的中心为原点O,长轴在x轴上,上顶点为A, 左、右焦点分别为F1,F2,线段OF1,OF2的中点分别为B1,B2,且△AB1B2是面积为4的直角三角形. (Ⅰ)求该椭圆的离心率和标准方程; (Ⅱ)过B1作直线交椭圆于P,Q,PB2⊥QB2,求△PB2Q的面积. [解析]:(Ⅰ)设椭圆C:+=1(ab0),由b=,且bc=8e=,椭圆C:+=1; (Ⅱ)设P(x1,y1),Q(x2,y2),直线PQ:x=my-2,代入椭圆C的方程得:(m2+5)y2-4my-16=0y1+y2=,y1y2=- =(x1-2)(x2-2)+y1y2=(my1-4)(my2-4)+y1y2=-=0m=2△PB2Q的面积S=|B1B2||y1-y2|=. [点评]:圆锥曲线上的三角形面积公式有基本公式和拆分公式二种,在解决问题时,应根据条件选择恰当的公式. 2.隐含直线方程 子题类型Ⅱ:(2007年浙江高考试题)如图,直线y=kx+b与椭圆+y2=1交于A,B两点, 记ΔAOB的面积为S.(Ⅰ)求在k=0,0b1的条件下,S最大值; (Ⅱ)当|AB|=2,S=1时,求直线AB的方程. [解析]:(Ⅰ)设A(x1,b),B(x2,b),由+b2=1x1,2=2S=b|x1-x2|=2b≤b2+(1-b2)=1; (Ⅱ)设A(x1,y1),B(x2,y2),O到AB的距离为d,则d=1b2=k2+1;由y=kx+b与+y2=1(4k2+1)x2+8kbx+4(b2-1)=0|AB| ==2k2=b2=直线AB:y=x+或y=x-或y=-x+或y=-x-. [点评]:由圆锥曲线上的三角形面积来隐含直线方程中的参数值是高考的常用命题手法,求三角形的面积是解题关键. 3.隐含曲线方程 子题类型Ⅲ:(2014年辽宁高考试题)圆x2+y2=4的切线与x轴正半轴,y轴正半轴围成一个三角 形,当该三角形面积最小时,切点为P(如图). (Ⅰ)求点P的坐标; (Ⅱ)焦点在x轴上的椭圆C过点P,且与直线l:y=x+交于A,B两点,若△PAB的面积为2,求C的标准方程. [解析]:(Ⅰ)设P(x0,y0)(x00,y00),则x02+y02=4x0y0≤2;由切线:x0x+y0y=4三角形面积=≥4P(,); (Ⅱ)设A(x1,y1),B(x2,y2),椭圆C:+=1(ab0);则+=1,b2x2+4x+6-2b2=0|AB|=;又由P到直线l的距离d=△PAB的面积S=|AB|d==2b2=3a2=6椭圆C:+=1. [点评]:由圆锥曲线上的三角形面积来隐含圆锥曲线方程中的参数值是高考的常用命题手法,也是高考的热点问题. 4.子题系列: 1.(2011年北京高考试题)已知椭圆G:+=1(ab0)的离心率为,右焦点为(2,0),斜率为1的直线l与椭圆G交与A、B两点,以AB为底边作等腰三角形,顶点为P(-3,2).(Ⅰ)求椭圆G的方程; (Ⅱ)求△PAB的面积. 2.(2012年北京高考试题)已知椭圆C:+=1(ab0)的一个顶点为A(2,0),离心率为,直线y=k(x-1)与椭圆C交于不同的两点M,N.(Ⅰ)求椭圆C的方程; (Ⅱ)当△AMN的面积为时,求k的值. 3.(2008年湖北高考试题)己知双曲线C:-=1(a0,b0)的两个焦点为F1(-2,0),F2(2,0),点P(3,)在双曲线C上.(Ⅰ)求双曲线C的方程; (Ⅱ)记O为坐标原点,过点Q(0,2)的直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F,若△OEF的面积为2,求直线l的方程. 4.(2012年安徽高考试题)如图,F1、F2分别是椭圆C:+=1(ab0)的左、右焦点, A是椭圆C的顶点,B是直线AF2与椭圆C的另一个交点,∠F1AF2=600. (Ⅰ)求椭圆C的离心率; (Ⅱ)已知△AF1B的