高考数学母题：三角形解.docVIP

高考数学母题规划,助你考入清华北大！王老师(电话:XXXXX)数学丛书,给您一个智慧的人生！ 高考数学母题 [母题]Ⅰ(13-10):三角形解(305) 763 三角形解 [母题]Ⅰ(13-10):(2007年上海春招试题)通常用a、b、c分别表示△ABC的三个内 角A、B、C所对边的边长,R表示△ABC的外接圆半径. (Ⅰ)如图,在以O为圆心,半径为2的圆O中,BC和BA是圆O的弦,其中BC=2,∠ABC=450,求弦AB的长; (Ⅱ)在△ABC中,若∠C是钝角,求证:a2+b24R2; (Ⅲ)给定三个正实数a、b、R,其中b≤a,问a、b、R满足怎样的关系时,以a、b为边长,R为外接圆半径的△ABC不存在、存在一个或存在两个？在△ABC存在的情况下,用a、b、R表示c. [解析]:(Ⅰ)由R=2AC=2RsinB=2,又由AC2=AB2+BC2-2AB.BCcosBAB2-2AB-4=0AB=+; (Ⅱ)∠C是钝角a2+b2c2a2+b24R2sin2Ca2+b24R2; (Ⅲ)在△ABC中,由b≤aB是锐角,所以,b2=a2+c2-2accosBc2-2ac+a2-b2=0…(☆);令f(x)=x2-2ax +a2-b2.则:①△ABC不存在方程(☆)无实根,或无正实根△0,或a=0,且f(0)=0a2R,或a=b=2R;②△ABC存在一个方程(☆)恰有一个正根△=0,或△0,且f(0)≤0a=2R,或a=b2R;当a=2R时,∠A=900,c=;当a=b2R时,c=2bcosA=2b=;③△ABC存在两个方程(☆)恰有两个正根△0,a0,且f(0)0ba2R.此时,由方程(☆)得:c=(ab). [点评]:在△ABC中,如果己知两边a与b,及其中一边a的对角A,则有如下六种基本图形:实质上,关于该三角形的讨论有如下等价定理:在△ABC中, 己知二边a,b(b≤a)及其中一边b的对角B,则△ABC有两解、一解或无解函数f(x)=x2-2acosBx+a2-b2分别有两正的零 点、一正的零点或无正的零点(含无实根). 证明:在△ABC中,b2=a2+c2-2accosB,所以,△ABC有两解、一 解或无解关于c的方程:b2=a2+c2-2accosB有两正根、一正 根或无正根(含无实根)函数f(x)=x2-2acosBx+a2-b2分别有两正的零点、一正的零点或无正的零点(含无实根). [子题](1):(2001年全国高中数学联赛试题)如果满足∠ABC=600,AC=12,BC=k的△ABC恰有一个,那么k的取值范围是( ) (A)k=8 (B)0k≤12 (C)k≥12 (D)0k≤12,或k=8 [解析]:设c=x,由b2=a2+c2-2accosCx2-kx+k2-144=0;△ABC恰有一个该方程恰有一个正实根(-k)2-4(k2-144)=0,或(-k)2-4(k2-144)0且k2-144≤0k=8,或0k≤12.故选(D). 注:己知二边a,b(b≤a)及其中一边b的对角B,解三角形△ABC的讨论问题,使用等价定理(为作者给出)较易. [子题](2):(存在性定理):在△ABC中,己知cosA、cosB,则△ABC有解cosA+cosB0. [解析]:△ABC有解C有解A+B有解0A+Bπ0Aπ-BcosAcos(π-B)cosA-cosBcosA+cosB0. 注:同理可得:在△ABC中,己知sinA、cosB,则△ABC有解+cosB0;由此可得:当-+cosB0. 即sin2A+cos2B1时,满足条件的△ABC有两解. 764 [母题]Ⅰ(13-10):三角形解(305) [子题](3):(解的个数定理)在△ABC中,己知sinA、cosB,其中sinA,cosB∈(0,1),则:①△ABC有一解sin2A+cos2B ≤1;②△ABC有二解sin2A+cos2B1. [解析]:△ABC有解存在角C∈(0,π),使得:sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=sinAcosB+()= sinAcosB0.所以,当sin2A+cos2B≤1时,只有一解;当