高考数学母题：立体几何背景.docVIP

高考数学母题规划,助你考入清华北大！王老师(电话:XXXXX)数学丛书,给您一个智慧的人生！ 高考数学母题 [母题]Ⅰ(20-30):立体几何背景(552) 1391 立体几何背景 [母题]Ⅰ(20-30):(1991年全国高考试题)如果把两条异面直线看成“一对”,那么六棱锥的棱所在的12条直线中,异面直线共有( ) (A)12对 (B)24对 (C)36对 (D)48对 [解析]:在六棱锥P-ABCDEF中,如图,六棱锥P-ABCDEF的棱可分为两类:第一类:底面六边形的 六条边:AB,BC,CD,DE,EF,FA,均在同一个平面內;第二类:六棱锥P-ABCDEF的六条侧棱:PA,PB,PC, PD,PE,PF,每两条均相交每两条均共面;对于第二类中任一条侧棱,如PF,均有第一类中的AB, BC,CD,DE,计4条与其构成“一对”共有4×6=24对.故选(B). [点评]:具有立体几何背景的计数问题不仅涉及两个计数原理、排列组合等方法,还涉及立体几何的有关内容,该类问题将方法与知识有机地融为一体. [子题](1):(2006年湖南高考试题)过三棱柱ABC-A1B1C1任意两条棱的中点作直线,其中与平面ABB1A1平行的直线共有 条. [解析]:设AC、BC、A1C1、B1C1的中点分别为D、E、M、N,则与平面ABB1A1平行的直线可分为: ①三棱柱ABC-A1B1C1的面上,有DE、EM、MN、ND,计4条;②三棱柱ABC-A1B1C1的体内,有DM、EN, 计2条,所以,与平面ABB1A1平行的直线共有6条. 注:解答立体几何背景的计数问题,常用方法之一是分类计数法,突出的特点是分类的标准:按位置关系分成两类:体面和体内. [子题](2):(2011年广东高考试题)正五棱柱中,不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点 的连线称为它的对角线,那么一个正五棱柱对角线的条数共有( ) (A)20 (B)15 (C)12 (D)10 [解析]:以顶点A1为端点的对角线有:A1C,A1D,计2条;同理可得,以任意顶点为端点的对角线均 有2条,但这样的对角线均被计算了两次对角线的条数共有2×10÷2=10.故选(D). 注:解答立体几何背景的计数问题,独具特色的方法是对称法,即关于一些具有对称关系(“地位”相同)的元素的计数问题,只需求其中一个元素的满足条件的种法m,则所有满足条件的种法=mn÷2,其中,n是元素的个数,因元素具有对称性,每个计数对象被计算两次,故必须除2. [子题](3):(1997年全国高考试题)四面体的顶点和各棱中点共10个点,在其中取4个不共面的点,不同的取法共有( ) (A)150种 (B)147种 (C)144种 (D)141种 [解析]:从10个点中取4个点的取法为C104=210种;其中四点共面的分三种情况:①四个点都 在四面体的某一个面上,每个面6个点,有4C64=60种;②其中三点共线,另一个点与此三点不在四 面体的某一个面上,而在与此三点所在直线异面的那条直线的中点,有6种;③其中两点所在直 线与另两点所在直线平行,且这四个点不在四面体的某一个面上,有3种取法共有:210-60-6-3=141.故选(D). 注:四面体中的计数问题是立体几何背景计数问题的特殊,且重要问题,掌握解决此类问题的思想、方法和技巧是深究、掌控、并轻松解决问题的关键. [子题系列]: 1.(1987年上海高考试题)三个互不重合的平面,能把空间分成n个部分,n的所有可能值为( ) (A)4、6、7 (B)4、5、6、8 (C)4、7、8 (D)4、6、7、8 2.(1994年第五届“希望杯”全国数学邀请赛高一试题)一个正三棱柱的各个面所在的平面将空间分为k个部分,则k= . 3.(2008年第十九届“希望杯”全国数学邀请赛高一试题)一个三棱锥的四个面所在的平面把空间分成的部分数为 . 4.(1990年第一届“希望杯”全国数学邀请赛高二试题)一个平面最多把空间分为两部分,两个平面最多把空间分为四部 1392