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数学建模中的 层次分析法 层次分析法简介 • 层次分析法是萨蒂（saaty) 等人20世纪70 年代提出的一种决策方法。它是将半定 性、半定量问题转化为定量问题的有效 途径，它将各种因素层次化，并逐层比 较多种关联因素，为分析和预测事物的 发展提供可的定量依据。 • 层次分析法在决策工作中有广泛的应 用。主要用于确定综合评价的权重系 数。层次分析法所用数学工具主要是矩 阵运算。 层次分析法简介 一、层次分析法基本原理 分解 建立 实际问题 多个因素 层次结构 确定 计算 判断 诸因素的相 权向量 综合决策 对重要性 二、层次分析法基本步骤 一、确定权系数 设x ,x ,…x 为对应各因素的决策变量。 1 2 n 其线性组合： y=w x +w x + …+w x 1 2 2 2 n 是综合评判函数。 w1,w2, … wn是权重系数，其满足： n wi0 , wi 1 i 1 对权重系数的量化过程 （1）成对比较 从 x ,x ,…x 中任取x 与x 比较它们对于y贡献 1 2 n i j （重要程度）的大小，按照以下标度给x /x 赋 i j 值： x /x ＝1，认为“x 与x 重要程度相同” i j i j x /x ＝3，认为“x 比x 重要程度略大” i j i j x /x ＝5，认为“x 比x 重要程度大” i j i j x /x ＝7，认为“x 比x 重要程度大很多” i j i j x /x ＝9，认为“x 比x 重要程度绝对大” i j i j 当比值为2，4，6，8 时认为介于前后中间状 态。 （2 ）建立逆对称矩阵 由x /x 建立n阶方阵A i j (3) 迭代 按下列方法求向量迭代序列： T e0=( 1/n 1/n … 1/n) e’k=Aek-1 || e’k ||为Aek-1 的n个分量之和 ’ ’ ek= e k / || e k || , k=1,2, … 数列｛ ek ｝是收敛的，记其极限为e.且 记e=(a a … a ) 1 2 n 于是取权重系数wi=ai 例1 ：评价影视作品 • 在电视