第3.3节 函数的最值.pdfVIP

§3.3 函数的最值 有关函数的最值问题一直是各级考试的热点. 由于求解这类问题时所要求的分析能力较 强，涉及到的数学思想方法较多，变形技巧较高，导致许多考生感觉力不从心，望题生畏， 无从下手.在本节中，我们从不同的思考视角、不同的求解方案探究函数最值的求法. 一、函数最值的求法 一般地，设函数f (x) 的定义域为D，如果存在实数M 满足： （1）对任意xD ，都有f (x) M ；（2 ）存在x D，使得f (x ) M . 0 0 那么，我们称M 为函数f (x) 的最大值.类似地，可以定义函数的最小值. 函数的最值问题常用的方法主要有以下几种： 1、单调性法 直接应用或构造函数，利用函数的单调性求最值. 【例1】设x(0, π) ，则函数f (x) 1cosx  1cosx 的取值范围是（ ） A. [0, 2) B. [0, 2) C. [0, 2] D. [0, 2] （2015 年北京大学生命科学冬令营） 【解析】令t cos x，由于x(0, π) ，从而t( 1,1) ，则函数f (x) 转换成关于t的函 数 gt( ) 1t  1t （t( 1,1) ），易证该函数在(1,1) 上关于 t单调递增，从而  2 gt( )  2 ，所以f (x) |gt( ) | 的取值范围是[0, 2). 2、不等式法 各种常见的不等式（如均值不等式、柯西不等式等）通常是解决函数最值的重要工具，通 过不等式进行有效的放缩达到求最值的目的. x 1x x 16 4 42 1 【例2 】已知xR ，求函数f (x) x 1x 的最小值. 4 2 （2018 年复旦大学） 2 x 4 2 2 x  x 2 2  (2 ) ( ) 42 1 (2 )  1 2x  2x  x 2  1 fx( ) (2 )  【解析】 （xR ） x 2 2 x 2 2  2x x 2 2 (2 )  x (2 )  x (2 )  x 2 2 2 1 x 2 2