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人教A版: 正态分布 正态分布教材的启发: ——数学教学的表达来自对数学的深刻理解 ——我们不仅需要微观地观察世界,也需要宏 观地观察世界:生物学、经济学、物理学 案例4:反函数的另一种理解 求反函数 想不通的是什么? 数学分析中隐函数求导的启发:从方程看函数 y=f(x)的进一步理解 为什么高中的反函数定义想不通 从Ryle的哲学分析数学教学内容 中国数学教育的特点是什么? 教师重视解题练习,学生双基扎实 中国数学教学的合理性是什么? 中国数学教学的不足是什么? 这种不足的根源是什么? ——播亮数学的火焰 ——数学不仅仅是解题 物理诺贝尔奖得主费曼谈巴西的物理教学 拨亮数学的火焰(人民日报) 中国科技大学研究生部教授 著名数学教育家 冯克勤   本世纪特别是近50年来,数学有了极大的发展。这些年,许多学校在开设新课介绍现代数学方面也作了努力,但是从整体上讲,与其他学科相比,在知识结构更新方面,我以为数学是做得最差的。   我们高中学生的数学知识大约达到了17世纪的数学水平,工科大学生的主要数学课———微积分、线性代数和数理方程则是18和19世纪的数学,连数学系大学生毕业时,对本世纪的数学也没有一个概念。   技术领域的课程更新较快,其他自然科学课程更新也比较容易,似乎唯独数学有特殊的困难。这当中除了长期形成的数学传统之外,人们往往强调数学知识传授的连贯性和严密的逻辑性推理体系。事实上,数学教材或论文写出来的推理程序常常不是我们在研究和思考数学时的思维程序,甚至两者完全相反。如果只看证明逻辑,学生没有学到很多东西,他们不知道这个证明是怎么得来的;学习后,他们自己也仍没有研究和创造这类新结果的能力。所以,我们不必把形式化和严格化的东西看得过于神圣,这不是我们要教给学生的最本质的东西———数学的直观和形象化。   我们常常热衷于告诉学生面面俱到的知识,但不知如何用最少的语言启发学生自己学习和思考的能力。我们还常常用学生的考试分数来衡量学生的学习效果和成绩,但这是不可靠的。现在各国都使用笔试考试,但笔试所起的误导作用恐怕以我国最甚。实际上,我们应当以学生在讨论、作业等方面的日常表现作为考核学生的主要依据,而考试则主要采用口试方式为好。德国波恩大学的期末考试就一直采取口试。由3位教授共同对每个学生面试10到20分钟。问题有指定的,也有像“你对本课程在学习中有什么新想法”之类的问题。不论学生讲的正确与否,教授们不停地与学生讨论,随时问一些小问题,考查学生对正确东西的确认程度,或者有多大的能力发现和改正错误。最后由3位教授共同给定一个分数和能相应体现学生个性特点的评语。这样的考试是辛苦的,但是德国人对待他们认为是合理和科学的事情,就一直持有这样认真的态度。   我们的中小学生在考试中出了一点小错便会得到一个不好的分数。这种对天真幼稚的孩童要求百分之百不出错,不仅过于残酷,也违反人类实践的常规。在实践中,任何人都会出错,问题是培养通过直觉和验算如何及时发现错误和改正错误的能力。总之,我们的数学教学对于学生将来工作中运用数学时真正需要的能力考虑得太少了。   据说法国拓扑学家托姆曾经和两位古人类学家讨论:我们的祖先出于什么动机保存了火种。一位古人类学家说是由于火可以取暖,另一位则认为是由于用火做成的熟食鲜美可口。而托姆则认为,人类保存火种的最原始动机,是由于在漫漫长夜中被光彩夺目的火苗所吸引,对美丽的火焰着了迷。我不想讨论托姆的观点是否正确,只是联想到,我们应当把怎样的教员看作是最优秀的?我想,倘若你使学生都有一个好的分数,那只算是一个合格的教员;但若学生们———哪怕只是班里的一小部分———在你的课上对数学着了迷,看到数学的火焰光彩夺目,那才是一个真正优秀的教员。 “数的教学”奥秘 小学:分数 初中:无理数 高中:对数 问题讨论: 数的教学的难点是什么? 问题讨论: 分数集合大还是小数集合大? 问题1:是不是“事实上”? 整数和分数是有限小数或者是无限循环小数吗? 有限小数和无限循环小数是分数吗? 分数是有限小数或者是无限循环小数吗? 如果有理数 不是有限十进位小数,那么通过不断的作除法能表示为一个无限的十进位小数。 在这过程中每次必然有一个非零的余数,否则这十进位小数是有限的。 在除的过程中出现的所有不同余数将是之间的整数,所以最多只能有q—1个不同的余数值,这说明任何有理数的十进位小数表示式是循环的;开始出现有限个数码,随后同样的一个数码或一组数码将无限次地再现。 问题讨论: 分数 有限小数或无限循环小数 问题2:有理数的定义为什么变了? 万物皆数:数与量 哲学家们认为世界上的量都可以用数来表示。因为分数可以描述极小极小的量。…… 用分数可以表示的点是密密

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