【高中数学】课后练习第9讲 圆锥曲线解题规律（上）.docVIP

第9讲 圆锥曲线解题规律（上） 题一：如图A、B是抛物线y2=2px（p＞0）上的两点，满足OA⊥OB（O为坐标原点）求证：⑴A、B两点的横坐标之积，纵坐标之积分别为定值。 ⑵直线AB经过一个定点。 题二：如图，M是抛物线上y2=x上的一点，动弦ME、MF分别交x轴于A、B两点，且MA=MB. （1）若M为定点，证明：直线EF的斜率为定值； （2）若M为动点，且∠EMF=90°，求△EMF的重心G的轨迹 O O A B E F M 题三：如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1,2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上． (1)写出该抛物线的方程及其准线方程； (2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1＋y2的值及直线AB的斜率． 题四：已知是椭圆的顶点（如图）,直线与椭圆交于异于顶点的两点,且．若椭圆的离心率是,且． （１）求此椭圆的方程；（２）设直线和直线的倾斜角分别为．试判断是否为定值？若是，求出此定值；若不是，说明理由． 题五：已知曲线上任意一点P到两个定点F1(-，0)和F2(，0)的距离之和为4．（1）求曲线的方程； （2）设过(0，-2)的直线与曲线交于C、D两点，且为坐标原点），求直线的方程． 题六：已知点A（－1，0），B（1，－1）和抛物线.，O为坐标原点，过点A的动直线l交抛物线C于M、P，直线MB交抛物线C于另一点Q，如图.（I）证明: 为定值;（II）若△POM的面积为，求向量与的夹角； (Ⅲ) 证明直线PQ恒过一个定点. 第9讲 圆锥曲线解题规律（上） 题一：证明： 题二： 详解：（1）设M（y,y0），直线ME的斜率为k(l0) 则直线MF的斜率为－k，方程为 ∴由，消 解得将k换成-k，可得F点坐标 ∴(定值) 所以直线EF的斜率为定值 （2）直线ME的方程为 由得 同理可得 设重心G（x, y），则有 消去参数得 题三：y2＝4x，准线方程是x＝－1. 详解：根据两直线倾角互补，kPA＝－kPB，利用斜率公式求解． 　(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y2＝2px. ∵点P(1,2)在抛物线上，∴22＝2p·1，得p＝2. 故所求抛物线的方程是y2＝4x，准线方程是x＝－1. (2)设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB. 则kPA＝eq \f(y1－2,x1－1)(x1≠1)，kPB＝eq \f(y2－2,x2－1)(x2≠1)． ∵PA与PB的斜率存在且倾角互补，∴kPA＝－kPB. ∴eq \f(y1－2,\f(1,4)y\o\al(2,1)－1)＝－eq \f(y2－2,\f(1,4)y\o\al(2,2)－1). 由（1）-（2）得直线AB的斜率 (利用点差法可推得k) 题四： 详解：（１）由已知可得，所以椭圆方程为． （２）是定值．理由如下： 由（１），A2（2，0），B（0，1），且//A2B，所以直线的斜率． 设直线的方程为,， 即，且 ． ． 又因为， ＝ ． 又 是定值． 题五：；的方程是或． 详解：（1）根据椭圆的定义，可知动点的轨迹为椭圆，其中，，则．所以动点M的轨迹方程为． （2）当直线的斜率不存在时，不满足题意． 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，设，， ∵，∴． ∵，， ∴．∴ ．… ① 由方程组 得．则，，代入①，得． 即，解得，或．所以，直线的方程是或． 题六：; PQ过定点E（1，－4）. 详解：（I）设点、M、A三点共线， (II)设∠POM=α，则 由此可得tanα=1. 又 (Ⅲ)设点、B、Q三点共线， 即 即 由（*）式，代入上式，得 由此可知直线PQ过定点E（1，－4）.