一试专题二-函数.pdf

数学竞赛讲座——联赛一试讲座 一试专题二：函数的性质 一．难点剖析 函数在联赛一试中应用非常广泛，甚至在二试中也有一席之地， 函数的概念和类型非常多，函数的构造使其和奇偶性单调性相结合， 又可将函数引入不等式领域中，同时构造的本质性有与某些组合题相 关。我们首先学习函数的基本性质和特征，以及一些简单的运用。 我们先从认识函数开始吧，要弄清函数的本质我们就要先从映射 讲起： 1 定义 ： A B ①映射的定义：设 、 是两个非空的集合，如果按照某种对应法则 f A B ，对于集合 中的任意元素，在集合 中都有唯一确定的元素与之 A B 对应，那么这样的单值对应叫做从 到 的映射，通常记为 f : AB A B ②函数的定义：函数的定义：设 、 是两个非空的数集，如果按照 f A x B 某种对应法则 ，对于集合 中的每一个数 ，在集合 中都有唯一 A B 确定的数和它对应，那么这样的对应叫做从 到 的一个函数，通   常记为y f x x A 通过简单地对比我们可以看到，函数和映射的联系与区别： 函数与映射都是两个非空集合中元素的对应关系，集合中的元都有方 向。但是函数要求两个元素必须是数，而映射中两个集合的元素是任 意的数学对象。 因此我们可以认为，函数是映射的一种表现形式。 ( 1 9 ) 第 页 共 页 数学竞赛讲座——联赛一试讲座 下面，我们正式开始学习函数的基础知识。 二．基础知识 我们先简单回顾一下函数的基本性质 （学校内容） 2 定义 ：单调性 x x (a,b) x x 函数单调性定义：如果对于任意的 、 ∈ ，当 ＜ 时，都有 1 2 1 2 f x f x f x f x f x （ ）＜ （ ） （或 （ ）＞ （ ）），那么就说 （）在这个区 1 2 1 2 (a,b) ,(a,b) 间 上是增函数（或减函数） 叫这个函数的单调递增（或递减） f x 区间，说 （）在这一区间上具有 （严格的）单调性。 函数单调性的定义一般是在一个区间内的定义，这一点需要非常 重视。 3 定义 ：奇偶性 函数的奇偶性定义：设函数的定义域为 A 对任意x A ，若       f x f x y f x ，即在关于 轴的对称点的函数值相等，则 称为偶       ; f x -f x f x 函数若