一堂递推关系课的教学设计.doc

第一篇 课堂有效教学实践一 一堂递推关系课的教学设计 浙江省杭州市夏衍中学 刁殿申 邮编310017 数学是思维的科学，抽象概括能力是数学教学的一项重要任务。数学教学中发现递推关系是揭示问题本质属性的有效途径之一。是体现对应思想、分步与分类教学的好素材，教学中应不失时机地利用各学段中的相关问题，促进学生递推思维的形成。有的放矢的培养学生“抽象概括能力”。 1.在趣味中发现递推关系 问题1：有一堆苹果被猴子发现了，第一只猴子吃掉了其中的一个，则恰能分成5份，它拿走了其中的一份；第二只猴子来吃掉了其中的一个，也恰能分成5份，它拿走了其中的一份；第三、四、五只猴子都是如此情况和做法。问原来那堆苹果至少有多少个？ 分析：此题好象无从下手，但仔细思考，每只猴子做的事情都相同是问题解决的突破口，可找出递推规律进而解决问题。 解：设原来苹果有只，剩下只，第只猴子离开后还有只，取=，则是在前一个猴子离开时的基础上得到的，， 这是一个一阶递推数列，线性转换：令，得，所以有。从而得，所以有，由于为自然数，则必能被整除，故最小时，=，==3121。 评析：归纳推理，是从特殊的若干项入手，寻求问题解决的途径；而递推则从一般性的中间入手，以前后项之间的关系为突破口，寻求问题解决的途径。 问题2：有10级楼梯,如果每次只能跨上一级或二级,要求上到第10级共有多少种不同的走法? 分析：每次只能上一阶或二阶是问题的关键所在，能否成为问题的突破口？ 设走上级楼梯的走法有种,则…．显然学生不满足于这种不完全归纳，急于寻求问题解决的一般方法。 解：设走上级楼梯的走法有种方法，则当时，有．当时，问题分为两类：若第一步上１级楼梯，余下的还有阶，有种走法；若第一步上两级楼梯，余下的还有阶，有种走法．故有，如图． 所以． 至此，递推关系找到了，但学生思维并没得到满足，能更进一步得到更一般的结论吗？ 上面问题（1）的解决过程是一个递推思维的过程，得到的是一个一阶递推式；能否对本问题有所启示? 问题（2）得到的是，不妨叫二阶递推式；它能否同一阶递推式那样，也能将二阶递推式进一步化成一个通项公式呢？问题有进入僵局。 评析：实践证明：拓展可以激发学生的积极性，使他们在问题解决中领略到数学内在的美，将繁重的脑力劳动转化成一种享受，转化为挖掘潜藏的智能。上面两个问题殊途同归，是偶然的吗？还有哪些生活事实可用裴波那契数列来描述。 2．在疑惑中转化递推关系 利用及递推关系式可以通过求二阶线性递归数列通项公式求出通项：设，令，则 则，故可知数列是以为首项，以为公比的等比数列，所以。则 …（1）；…（2） （1）—（2）得—（） 所以（） 对二阶线性递归数列，可通过对其递推公式的合理变形，构造出一个等比数列，然后解特征方程，将二阶线性递归数列转化为等比数列，进而求出通项公式，转化为一阶递推关系， 评析：揭示思维过程的本质，一个是观察归纳式的发现，一个是归纳概括式的发现。两个层次互相补弥、兼顾，两个层次同等重要，但不能只停留在观察的层面上。要让学生深层次地去思考问题，寻求、发现数学规律。这样的数学学习才是完整的，才能让学生在数学学习中体会到思维的重要性， 实践证明：递推、拓展可以激发学生的积极性，使他们在问题解决中领略到数学内在的美，将数学学习转化成一种享受，转化为自我挑战，挖掘潜藏的智能的活动。上面两个问题殊途同归，是偶然的吗？还有哪些生活事实可用裴波那契数列来描述。 著名的裴波那契数列，“兔子问题”；和上面的问题如出一辄吗？ 3．在感悟中把握递推规律 递推关系是递推问题中变量关系的共性，它有时要在归纳中发现，有时要在抽象中获得，前者需要观察整理，后者需要分析提炼。 问题3．平面内有个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆都不共点，如果用表示这个圆把平面分割成的区域数，那么与之间的关系是（ ） A．=+ ；B。=+ ； C=+。 ； D。=+。 解： 递推分析：设平面上第个圆把平面最多分成（）个区域，则第个圆和前面个圆最多有个交点，且每相邻两个交点都把原区域划分成两个区域，新增个区域。所以=+2。 问题4：如图1-1，有三根针和套在一根针上的若干金属片，按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上。（1）每次只能移动一个金属片；（2）较大的金属片不能放在较小的金属片下面。试推测把个金属片从1号针移到3号针，最少需要移动多少次？ 解：设有个金属片，把其从1号针移到3号针需移动次。则在这次中无论怎样移动，都必须包含着，先把前个金属片移动2号位有次；再把第个金属片移动3号位，有1次，最后再把前个金属片移到3号位，有次，故有次。 所以有 这里含概着整体把握及总体思想。 下面的方法：（1）直接递推，（2）线性转换（不动点）（