线性代数16.pptVIP

第五章 小 结 概念：内积、正交、特征值、特征向量、正交矩阵 相似矩阵、对角化、二次型、标准形、正定矩阵 习题类型 1 施密特正交化过程 2 方阵的特征值、特征向量的讨论 3 用正交阵化对称阵为对角阵（或用正交变换化二 次型为标准形。） 4 用配方法化二次型为标准形 5 判别二次型（或对称阵）的正定性 1、若二次型 是正定的，则t的取值范围是 。 2、设A是3阶矩阵，其特征值为1，-1，2，则 A2+3A-2E的特征值为 。 2，- 4，8 3、设矩阵 相似，则 。 0 4 设A为 n 阶方阵， 为其特征值， 为其 对应的特征向量，证明当 A的特征向量。 时， 不是 证 反证）若 是A的特征向量，设对应的 ，即 特征值为 此即 线性无关。 由于 知 矛盾。 于是 解 与二次型对应的矩阵为 标准形所对应的矩阵为 5 已知二次型 ，通过正交变换将 求参数 变为 及所用的正交变换。 从而 单位化后的向量记为 由 得特征向量 ，特征值为1，2，5。 又记 ，由 得特征 则所求的正 交变换为 ，由 得特征向量 向量 6 设三阶实对称矩阵A的特征值为6,3, 3, 与特征值6对应的特征向量为p1 =(1 1 1)T , 求A。 解 先求出与 3对应的特征向量，由A的不同特 征值所对应的特征向量正交，考虑方程组： 取基础解系 正交化 单位化 构造正 交矩阵 满足： 于是 7 设A为n阶可逆矩阵，且每一行元素之和皆等于d, 试证（1）d是A的特征值； （2）A的逆也是各行元素之和皆相等的矩阵。 证 故 由题知 故有 这表明 的各行元素之和相等，皆为 . 证毕 复 习 要 点 第一章 逆序数的计算、行列式的性质及计算 第二章 求矩阵的逆、秩、伴随矩阵的性质 用矩阵的初等变换解题。 第三章 向量的线性相关性讨论、向量组的秩的讨论 第四章 带参数的非齐次线性方程组解的讨论、 （齐次或非齐次解的结构的讨论） 第五章 方阵的特征值及特征向量的讨论、用正交 矩阵化实对称阵为对角阵（或用正交变换 化二次型为标准形）、正定性判别 * 内容回顾 相似矩阵：存在可逆P，使得 A与B相似，A与B的特征多项式相同， 特征值亦相同。 （充要条件） A有n 个线性无关的特征向量。 （充分条件） A有 n 个互不相等特征值。 A相似于对角阵 A是 n 阶实对称矩阵, 则必有正交矩阵 P, 使 ，其中 是以A的 n 个特征值为对角元素 的对角阵。 对称矩阵化对角阵的基本步骤： 1 求A的特征值（共 n 个，重根按重数计算）； 2 求各特征值对应的特征向量； 3 （在正交化、单位化后）写出正交矩阵P； 则二次型可以记为 二次型 总有正交变换 ，使 化为标准形 其中 是 的矩阵 的特征值。 定理 任给实二次型 例2 ⑴ 写出二次型的矩阵A（一定是对称阵）； ⑵ 求A的特征值（共 n 个，重根按重数计算）； ⑶ 求各特征值对应的特征向量； ⑷ （在正交化、单位化后）写出正交矩阵P； ⑸ 写出二次型的标准形及所用的正交变换。 注 此类习题是本章的基本题型之一，要求大家必 须掌握，其解法步骤如下： 求一个正交变换把下列二次型化为标准形。 解 二次型 的矩阵为 它的特征 多项式为 于是A的特征值为 对于 解方程组 可得正交的基础解系 得基础解系 单位化得 对于 解方程组 单位化 即得 于是，正 交变换为 标准形为 §6 化二次型为标准形的其它方法 　　用正交变换化二次型为标准形，其特点是保 持几何形状不变． 　　问题　有没有其它方法，也可以把二次型化 为标准形？ 　　问题的回答是肯定的。下面介绍一种行之有 效的方法——拉格朗日配方法． 　　1.　若二次型含有 的平方项，则先把含有 的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同 样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线 性变换，就得到标准形; 拉格朗日配方法的步骤： 拉格朗日配方法可以分为两种情形： 1）二次型中含有平方项； 2）二次型中