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一组“规律探索”课集体研究叙事 　　2012年2月14日，星期二，下午，白鹤小学数学组的既定集体备课时间。 　　这一天，高数组轮到罗晓亮老师进行“倍数与因数”单元的集体备课。罗老师照例对单元教学的整体价值和设计思路进行了分析，组内老师围绕一些关键问题讨论。达成共识后，他结合组内制定的“‘规律探索’课型模式探究”这一主题，选取了“3的倍数特征”这一典型课例进行研究。 　　前行为阶段：遇到第一个“节点” 　　罗老师围绕教学目标，对核心过程进行了如下“三放三收”的设计—— 　　一放：负面迁移，引起冲突。学生根据2、5倍数特征的研究方法猜测3的倍数特征。 　　一收：学生发现3的倍数特征不能光看个位。 　　二放：引导探究，发现规律。引导学生把目光关注到各位数字之和，发现规律，并举一些例子看此规律是否具有推广性。 　　二收：根据学生的发现总结提炼3的倍数特征。 　　三放：操作研究，理性分析。学生动手摆小棒，从较小的数着手，明白为什么3的倍数特征与“各位数字之和”有关。 　　三收：结合操作过程，使学生明白“各位数字之和”即“个位＋十位数减若干个9＋百位数减若干个99＋千位数减若干个999＋……”，并将这种思路推广到9的倍数的特征。 　　以上总体设计，以三个“大问题”为前提，层层递进，而且问题间有一定的关联性。看到这个设计思路，大家普遍认为，这较之以往只关注规律本身有了很大的改进，既关注了以旧引新，又关注了规律本身，还注重了探究规律的本质，可谓“知其然并知其所以然”。不过，较真的老师们马上意识到一个问题，即在“二放”中，教师直接提示学生：“算一算各位数字之和，看看有什么发现？”指向性太明确，不具备开放性，仍然是教师在要求学生怎么做，重心没有真正下移。可以想象，照这种设计思路，学生在课堂上的表现一定会很“顺利”，但这种“顺利”势必会掩盖学生思维的起点状态，学生仍然会不明其中的奥妙。 　　怎样让学生主动想到探究3的倍数的特征要关注“各位数字之和”呢？我和老师们陷入了一个“节点”，产生了几种观点。有的认为，学生通过观察得出2、5的倍数特???很容易，但3的倍数特征很难由观察得出，要学生自己想到从“各位数字之和”考虑是很难的事；有的则说，五年级学生中，有很多已经在校外上过辅导班，知道3的倍数特征的学生或许存在，因此，与其让学生去完成那不可能的“发现”，还不如通过“三放”让学生明白为什么具备这种规律，这也算是一种弥补。但我始终认为，一定有一种让学生发现3的倍数特征的方法。怎么做？大家的焦点聚集到这一“节点”上。 　　改进阶段1：部分尝试改进 　　讨论之后，我突然想到一个点子：我们不是要引导学生主动发现3的倍数特征与个位无关而与“各位数字之和”有关吗？那不妨将“二放”做如下改变—— 　　学生先列举一个三位数，使它是3的倍数，如237。然后，老师非常迅速地写了另外5个三位数：273、327、372、723、732，让学生验证这些数都是3的倍数。如此，再写一个多位数，如4125，再将由这四个数字组成的另外一些四位数一一列举出来，学生分组验证，发现它们也都是3的倍数。在这里，几个不同排列的多位数就成为学生发现“3的倍数特征”的一个铺垫。有了这个铺垫，相信学生很容易想到：3的倍数特征与“个位”没多大关系，与“数字的排列位置”也没关系，而是与“各位上的数字之和”有关。 　　大家觉得这一改进比老师要学生直接计算各位数字之和要好。但我们马上又意识到，虽然这样做的开放度较原始设计有了很大的提高，但这种开放只能说是给学生设了一个“圈套”，仍然没有解决“主动发现规律”这一根本问题。 　　于是，我们又逆向思考：要让学生主动发现规律，我们要教给他们什么？大家一致认为，最核心的是“探究规律的方法”，也就是：先确定研究小范围，罗列研究材料，用列举法作工具，然后扩大范围验证，最后获得结论。既然是这样，3的倍数特征已经不是“规律探索”的第一节课，要帮助学生形成这种探究规律的方法，必须从前面的课就开始。如果在探究2、5的倍数特征的时候，教师能引导学生按照这种方法进行研究，并且对这种方法进行概括性的提炼，学生在探究3的倍数特征时就有了主动发现的可能。 　　特别地，想要引导学生关注到“各位数字之和”，也一定要让学生从前面的课中得到启示。那么，对于2、5的倍数特征为什么只要关注个位就可以了，一定要让学生经历一个理性分析的过程。于是有了下面这番关于序列整体改进的讨论和设想。 　　改进阶段2：序列整体改进 　　为什么2、5的倍数特征都只要考虑个位就行了，而3的倍数的特征关注的既不是末位，也不是末两位，而完全换了一种角度，变成了“各位数字之和”呢？这个角度果真是完全换了吗？其实不然！仔细一想，在探索一个数的倍数特征时，可遵循一条共同的原则：先排除这个数中已经确定是这个数的倍数的部分。比如，在探索