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? 3D数学 ---- 矩阵的更多?知识（2） 收藏矩阵的逆另外一种重?要的矩阵运?算是矩阵的?求逆，这个运算只?能用于方阵?。?运算法则方阵M的逆?，记作M-1，也是一个矩?阵。当M与M-1相乘时，结果是单位?矩阵。表示为公式?9.6的形式：并非所有的?矩阵都有逆?。一个明显的?例子是若矩?阵的某一行?或列上的元?素都为0， 用任何矩阵?乘以该矩阵?，结果都是一?个零矩阵。如果一个矩?阵有逆矩阵?，那么称它为?可逆的或非?奇异的。如果一个矩?阵没有逆矩?阵，则称它为不?可逆的或奇?异矩阵。 奇异矩阵的?行列式为0?，非奇异矩阵?的行列式不?为0，所以检测行?列式的值是?判断矩阵是?否可逆的有?效方法。此外，对于任意可?逆矩阵M，当且仅当v?=0时，vM=0。M的”标准伴随矩?阵“记作”adjM“，定义为M的?代数余子式?矩阵的转置?矩阵。下面是一个?例子，考虑前面给?出的3x3?阶矩阵M：计算M的代?数余子式矩?阵：M的标准伴?随矩阵是代?数余子式矩?阵的转置：一旦有了标?准伴随矩阵?，通过除以M?的行列式，就能计算矩?阵的逆。其表示如公?式9.7所示：例如为了求?得上面矩阵?的逆，有：当然还有其?他方法可以?用来计算矩?阵的逆，比如高斯消?元法。很多线性代?数书都断 定该方法更?适合在计算?机上实现，因为它所使?用的代数运?算较少，这种说法其?实是不正确?的。对于大矩阵?或某些特殊?矩阵来说，这也许是对?的。然而，对于低阶矩? 阵，比如几何应?用中常见的?那些低阶矩?阵，标准伴随矩?阵可能更快?一些。因为可以为?标准伴随矩?阵提供无分?支（branc?hless?）实现，这种实现方?法在当今 的超标量体?系结构和专?用向量处理?器上会更快?一些。矩阵的逆的?重要性质：?几何解释矩阵的逆在?几何上非常?有用，因为它使得?我们可以计?算变换的”反向“或”相反“变换 ---- 能”撤销“原变换的变?换。所以，如果向量v?用矩阵M来?进行变换，接着用M的?逆M-1进行变换?，将会得到原?向量。这很容易通?过代数方法?验证：矩阵的行列?式在任意方阵?中都存在一?个标量，称作该方阵?的行列式。?线性运算法?则方阵M的行?列式记作|M|或“det M”，非方阵矩阵?的行列式是?未定义的。n x n阶矩阵的?行列式定义?非常复杂，让我们先从?2 x 2，3 x 3矩阵开始?。公式9.1给出了2? x 2阶矩阵行?列式的定义?：注意，在书写行列?式时，两边用竖线?将数字块围?起来，省略方括号?。下面的示意?图能帮助记?忆公式9.1，将主对角线?和反对角线?上的元素各?自相乘，然后用主对?角线元素的?积减去反对?角线元素的?积。3 x 3 阶矩阵的行?列式定义如?公式9.2所示：可以用类似?的示意图来?帮助记忆。把矩阵M连?写两遍，将主对角线?上的元素和?反对角线上?的元素各自?相乘，然后用各主?对角线上元?素积的和减?去各反对角?线上元素积?的和。如果将3 x 3阶矩阵的?行解释为3?个向量，那么矩阵的?行列式等于?这些向量的?所谓“三元组积”。假设矩阵M?有r行c列?，记法M{ij}表示从M中?除去第i行?和第j列后?剩下的矩阵?。显然，该矩阵有r?-1行，c-1列，矩阵M{ij}称作M的余?子式。对方阵M，给定行、列元素的代?数余子式等?于相应余子?式的有符号?行列式，见公式9.3：如上，用记法ci?j表示M的?第i行，第j列元素?的代数余子?式。注意余子式?是一个矩阵?，而代数余子?式是一个标?量。代数余子式?计算式中的?项(–1)(i+j)有以棋盘形?式使矩阵的?代数余子式?每隔一个为?负的效果：n维方阵的?行列式存在?着多个相等?的定义，我们可以用?代数余子式?来定义矩阵?的行列式（这种定义是?递归的，因为代数余?子式本身的?定义就用到?了矩阵的行?列式）。首先，从矩阵中任?意选择一行?或一列，对该行或列?中的每个元?素，都乘以对应?的代数余子?式。这些乘积的?和就是矩阵?的行列式。例如，任意选择一?行，如行i，行列式的计?算过程如公?式9.4所示：下面举一个?例子，重写3x3?矩阵的行列?式：综上，可导出4x?4矩阵的行?列式：高阶行列式?计算的复杂?性是呈指数?递增的。幸运的是，有一种称作?”主元选择“的计算方法?，它不影响行?列式的值，但它能使特?定的行或列?中除了一个?元素（主元）外其他元素?全为0，这样仅一个?代数余子式?需要计算。行列式的一?些重要性质?：（1）矩阵积的行?列式等于矩?阵行列式的?积：|AB| = |A||B|??????? 这可以扩展?到多个矩阵?：? |M1 M2 ... Mn| = |M1| |M2| ... |Mn-1| |Mn|（2）矩阵转置的?行列式等于?原矩阵的行?列式：|MT| = |M