经典线性回归模型的设定与推断.docVIP

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经典线性回归模型的设定与推断.doc

2 经典线性回归模型 §2.1 概念与记号 1.线性回归模型是用来描述一个特定变量y与其它一些变量x1,…,xp之间的关系。 2.称特定变量y为因变量(dependent variable)、被解释变量(explained variable)、响应变量(response variable)、被预测变量(predicted variable)、回归子(regressand)。 3.称与特定变量相关的其它一些变量x1,…,xp为自变量(independent variable)、解释变量(explanatory variable)、控制变量(control variable)、预测变量(predictor variable)、回归量(regressor)、协变量(covariate)。 4.假定我们观测到上述这些变量的n组值: (i=1,…,n)。称这n组值为样本(sample)或数据(data)。 §2.2 经典线性回归模型的假定 假定2.1(线性性(linearity)) (i=1,…,n)。 (2.1) 称方程(2.1)为因变量y对自变量x1,…,xp的线性回归方程(linear regression equation),其中是待估的未知参数(unknown parameters),是满足一定限制条件的无法观测的误差项(unobserved error term)。称自变量的函数为回归函数(regression function)或简称为回归(regression)。称为回归的截距(ntercept),称为自变量的回归系数(regression coefficients)。某个自变量的回归系数表示在其它条件保持不变的情况下,这个自变量变化一个单位对因变量的影响程度,这个影响是在排除其它自变量的影响后,这个自变量对因变量的偏效应。 下面引入线性回归方程的矩阵表示。记 (未知系数向量(unknown coefficient vector)) ,,则 (i=1,…,n)。 又记 X=, Y=, ,则 假定2.2(严格外生性(strictly exogeneity)) =0 (i=1,…,n)。 严格外生性的含义 ·误差项的无条件期望为零 (i=1,…,n)。 ·正交条件(orthogonality conditions) (i=1,…,n ; j=1,…,n )。 ·不相关条件(zero-correlation conditions) (对所有i,j,k)。 由以上严格外生性的含义可知,如果在时间序列数据中存在的滞后效应(lagged effect)和反馈效应(feetback effect),那么严格外生性条件就不成立。因而,在严格外生性假定下推出的性质就不能用于这类时间序列数据。滞后效应是指自变量历史值对因变量当前值的影响,反馈效应是指因变量当前值对自变量未来值的影响。 假定2.3(无多重共线性(no multicollinearity)) n×(p+1)矩阵X的秩为(p+1)的概率为1。 假定2.4(球面误差方差(spherical error variance)) ·条件同方差(conditional homoskedasticity) (i=1,…,n)。 (误差方差) ·误差项不相关(no correlation between error term) (对所有i≠j) 在经典线性回归模型的四个假定中,假定2.1和假定2.3是必不可少的,但假定2.2和假定2.4中的严格外生性、条件同方差和误差项不相关以后可以适当放宽。 §2.3 随机样本的经典线性回归模型 若样本(i=1,…,n)为IID,那么假定2.2和假定2.4可简化为 假定2.2: (i=1,…,n) 假定2.4: (i=1,…,n) §2.4 确定性自变量的经典线性回归模型 若更进一步假定自变量x1,…,xp为确定性的变量,那么假定2.2和假定2.4可进一步简化为 假定2.2: (i=1,…,n) 假定2.4: §2.5 最小二乘估计量及其代数性质 虽然我们无法直接观测到误差项,但对未知系数向量β的一个假想值(hypothetical value),容易计算出 称这个量为第i次观测的残差(residual),并且称使残差平方和(residual sum of squares) = 达到最小的假想值:

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