中学数学研究(代数部分)习题库.docVIP

习题1.求适合的一切集合，以及他们基数的和。 解： 它们的基数和为：。 习题2.用自然数序数理论证明：（1），（2） 证： （1） （2） 又 习题3.对任何自然数，证明：（1），（2） 证：有定3中的（1），，由（2），； 同理，。 证毕 习题4.设，求证： （1） （2） （3） 证：（1）（交换律） （性质（2）） 又（交换律） ； （2）； （3） 证毕 习题5.证明 证：设，则 原式变为证，即 由乘法对加法的分配律 原式成立， 即成立。 证毕 习题6.设把的元素按照从小到大的顺序写出来。 解： 由集合的性质，必有或之一成立，即中的元素有或之一种顺序关系。 习题7.设，求证 证：时， 成立 设时， 成立 当时， 由假设， ，即成立。 由数学归纳法，对一切 成立。 习题8.已知时定义在上，又在上取值的函数，并且 （1）， （2）对任何，有； （3）当时，。 求证： 在上恒成立。 证：当时，由，即， 在时成立。 设时成立。 当时， 由（3） 又取值为自然数， 当时， 而， 即对一切，成立。 证毕 习题9.已知时定义在上的函数，且，， 求证： 证：成立 设当时， 均成立。 当时，， 由归纳假设，有 即成立。 由归纳法，对一切，成立。 证毕 习题10.已知单面内两两相交的个圆中，每三个都不共点，求证：这个圆把他们所在的平面分成个部分。 证： 设时，平面被分成个部分，由上述规律 时， 由归纳法，一切，所证命题成立。 习题11.设三角形三条边都为自然数，最大边长为11，问这样的三角形共有多少个？若最大边为呢（）？ 解：由构成三角形的充要条件：“两边之和大于第三边”知: 设为三角形的另外两边，则 满足这一条件的三角形有种，若最大边为，由上理推知，满足条件的三角形有 个 习题12.把个互不相等的自然数任意排成一个方阵，取每行的最大数组个数，设其中最小的一个是，再取每列的最小数又组个数，设其中最大的一个是，试比较与的大小。 解： 设 则如果时， 当不同时成立时，由，的取法知： ，即 ，的大小可能有两种情况，即，或。 习题13.设，，分别写出与的元素 解：的元素 0 1 即 . 的元素 0 1 即 习题14.设，给定中的关系，问具有哪些性质？ 答：关系具有对称性。 习题15.在具有个元素的有限集合中，可以定义多种不同的等价关系？ 设这个元素构成的集合是，则有多少种不同的分类方法就能定义多少种不同的等价关系，具体数字待进一步求出。 习题16.写出模5同余环的加法与乘法表 解： 加法表 乘法表 + [0] [1] [2] [3] [4] [0] [0] [1] [2] [3] [4] [1] [1] [2] [3] [4] [0] [2] [2] [3] [4] [0] [1] [3] [3] [4] [0] [1] [2] [4] [4] [0] [1] [2] [3] + [0] [1] [2] [3] [4] [0] [0] [0] [0] [0] [0] [1] [0] [1] [2] [3] [4] [2] [0] [2] [4] [1] [3] [3] [0] [3] [1] [4] [2] [4] [0] [4] [3] [2] [1] 习题17.试在有理数集上定义一个异于大小关系的顺序关系？ 解：有理数集 在中按如下方式定义一个关系： ①把分类：对于有理数，令（叫做有理数的模）。模相等的有理数属于同一类。同一类的有理数定义为同一个元。即中定义相等关系为：。 ②在中定义关系，当且仅当时，则关系是一个偏序关系，（其中符号“”是通常意义下的小于或等于关系）。关系异于中大小关系。 ③证明②中定义的关系是中的偏序关系且异于中的大小关系 先证明： 是偏序关系： i ，其模为，故自反性成立。 ii若，其模分别为。若，，则由定义知，且，。说明反对称性成立； iii若，它们的模分别为，，说明传递性成立。 由i，ii，iii知，R是Q中的一个偏序关系。 关于R是异于Q中大小关系的，这一点显然。 [毕] 习题18..设={甲，乙，丙，丁}，，试求： 1到的映射有多少种？ 2到的满射有多少种？