§.. 一元线性回归.docVIP

§8.3.2 一元线性回归 上式称为回归模型，它表明当 取某个数值时， 并不必然表现为一个确定的值，而是在 附近波动，但其平均数在大量观察下趋向于确定的值 。 图8-170 企业产量与生产费用散点图 我们容易看出企业产量 和生产费用 之间的散点图大致呈直线关系。但图形中的各点并不都在—条直线上，而是围绕着直线上下波动，有的在直线上面，有的在直线下面。 各散点的坐标满足方程 对于这样的散点图，我们认为 与 之间线性相关，回归函数 是线性函数，即 此时，回归模型为 (8.25)式称为一元线性回归函数，(8.26)称为一元线性回归模型。 8.25 8.26 直线截距 直线斜率 也叫做 对 的回归系数，它表示 每变动一个单位所引起的 的平均变动量 残差（也称为回归误差或预测误差），代表除 外的其它次要因素形成的随机扰动。 当样本量较大时，正负干扰可相互抵消，所以我们认为 的均值为0。 回归分析的主要任务就是确定回归方程的参数 、 并判定回归函数(8.25)式是否合理。 怎样确定? ? 越小越好 常用的方法是最小二乘法(Least squares，简记为LS)。它使残差平方和(residuals sum of squares :RSS)最小,即使 最小 在计算上应先求 再求 。用最小二乘法拟合的回归方程有三个性质： (1) ,即回归误差可以相互抵消。 (2)所拟合的回归线通过均值点 ，即通过散点图的重心，因而预测值 的均值等于实际值 的均值。 (3)残差 和 、 之间无相关关系。 利用求极值的方法可解得: 案例8.14 根据表8-5中有关数据，确定该企业生产费用对产量的回归方程，并说明产量对生产费用的影响大小。 表8-5 企业生产费用与产量相关系数计算表 解： 由于产量多少决定着生产费用的多少，所以以产量x为自变量，生产费用y为因变量。 代入（8.27）,得 所求的生产费用对产量的回归方程为： 它说明该企业产量每增加1千吨，生产费用平均增加12.896万元。 案例8.15某省1990－2000年工业产值y与农业产值x的统计数据（单位：亿元）如表中第2、3列所示。试求工业产值对农业产值的回归函数。 94 76 平均 102216 63860 79769 1034 836 ∑ 4624 4761 4900 6561 7225 7396 10000 11664 12996 14400 17689 4624 5041 5184 4900 5776 5929 5776 6084 6241 6561 7744 4624 4899 5040 5670 6460 6622 7600 8424 9006 9720 11704 68 69 70 81 85 86 100 108 114 120 133 68 71 72 70 76 77 76 78 79 81 88 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 y2 x2 xy y x 年份 解： 建立y对x的一元线性回归方程，由表可知 根据公式(8.27),有 从而y对x的线性回归方程为： 二、可线性化的一元回归问题 常见的非线性函数及其转化为线性函数的方法： 1、双曲线 （图8-17） 令