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一元积分学的几何应用与重积分计算 一、考试内容 （一）一元积分学的几何应用 1、平面图形的面积 2、旋转体体积 注：利用平面图形的面积与旋转体体积公式时，有时可借助参数方程或极坐标表示 3、曲线的弧长（数三不要求） 4、旋转体的侧面积（数三不要求） （二）重积分计算法则 1、记忆以下二重积分奇偶对称性性质： （1）当积分域对称于轴时，令是关于轴某一侧的部分，则有 上述性质可类似地应用于关于轴的对称性与函数关于的奇偶性 （3）当积分域关于原点对称时，若，则有 （4）若将互换，积分域不变，（关于对称） 则（轮换性） 2、记忆以下三重积分奇偶对称性性质：（数一） （1）当积分域对称于面时，令是关于面某一侧的部分，则有 上述性质可类似地应用于关于其它坐标面的对称性与函数的奇偶性 （2）若将互换，积分域不变， 则（轮换性） 3、记忆重积分算法 对， 对， 对， 特别地， 对，为在面的投影 则，此为先二后一法（数一） 对绕轴（）的旋转体区域，为在处的横截面区域， 则，此为先一后二法（数一） 特别地，截面面积为已知的立体体积 对由球面与锥面所围成的区域，可利用球坐标法计算： （数一） 二、典型例题 （一）一元积分学的几何应用 例1、如图，连续函数在上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在的图形分别是直径为2的下、上半圆周，设，则有（C） （A） (B) （C）（D） 提示：，故选（C）. 例2、求由曲线及在上半平面围成图形的面积及周长. 解： ，或 . 例3、设D是由曲线，直线及轴所转成的平面图形，分别是D绕轴和轴旋转一周所形成的立体的体积，若，则． 提示：，． 例4、求曲线和直线所围成图形绕极轴旋转一周的. 解：. 例5、位于第一象限的图像与轴、轴所围区域的面积为． 提示：面积． 例6、曲线的弧长． 提示：． 例7、过上一点做切线，问为何值时所作切线与抛物线所围区域的面积最小？ 解：易得两曲线交点 ，易知时． 例8、设D是位于曲线下方、轴上方的无界区域， （1）求区域D绕轴旋转一周所成旋转体的体积;（2）当为何值时，最小? 提示：(1) (2) （二）二重积分计算 例1、换序. 例2、设连续，则.　 例3、 . 例4、设区域由曲线围成，则． 提示：对称奇偶性与二重积分的几何意义． 例5．计算，其中． 解：令，由二重积分奇偶对称性性质知，. 例6、设是的第象限的部分，记，则（B） （A） （B） （C） （D） 提示：由轮换性知由不等式性质知． 例7、设，则 .（轮换性） 例8、设连续， ，其中为图中阴影部分，则 . 提示：注意相对于直（极）标为常数，则 ． 例9、求 . [解] 如图, 原式 . 例10、可导， 为其反函数，，，证明：． 提示：令，则左右． （三）三重积分计算(仅数一打印) 例1、，其中由锥面与平面（）围成的区域. 【解1】原式 . 【解2】原式. 【解3】原式 . 例2、，其中是由球面所围成的闭区域. 【解1】因区域具有轮换性，则 故原式 . 【解2】原式. 【解3】原式. 例3、计算，由平面以及曲面围成，其中是由曲线绕轴旋转所生成的旋转面. 解： 原式. 例4、计算，其中． 解： ． 例5、求上的连续函数， 使． 提示：令，则． 三、课后练习 （一）一元积分学的几何应用 1（A）、曲线与轴所围成图形的面积可表为（C） （A） （B） （C） （D） 2（A）、设在区间上连续，则曲线夹在之间的平面图形绕直线旋转而成的旋转体体积为（B） 3（A）、如图，函数在区间上有连续的导数，则定积分等于（C） （A）曲边梯形面积 （B） 梯形面积 （C）曲边三角形面积 （D）三角形面积 4（A）、由曲线和直线及在第一象限中所围图形的面积为． 5（A）、假设曲线，轴和轴所围成区域被曲线分为面积相等的两部分，则． 6（A）、过原点作的切线，其与及轴所围区域为，则的面积为， 绕旋转一周所得的旋转体的体积为． 7（A）、已知曲线与曲线在点处有公切线，求①常数及切点；②两曲线与轴所围平面区域的面积；③该区域绕轴旋转一周所得旋转体体积．[① ② ③] 8（A）、求曲线所围图形的面积，并求该平面图形绕轴旋转一周所得的旋转体体积．（） 9（A）、设， 及轴所围成的平面区域为，则绕轴旋转一周所成的旋转体的体积为，绕轴旋转一周所成的旋转体的体积为． 10（A