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线性系统的核空间、象空间、不变子空间的直观诠释 第25卷第6期 2010年12月 电力 J()URNALOFELECTRICPOWER VoI.25NO.6 Dec.2O1O ? 数学分析? 文章编号2010)06—0496—04 线性系统的核空问,象空间, 不变子空间的直观诠释 韩肖宁,董欣,冯帆. (1.山西大学工程学院,太原030013;2.太原理工大学,太原030024) 摘要:线性系统的几何理论是将线性系统的动态分析转化为状态空间中相应的几何问题. 这种几何方法的特点是简洁明了,避免了状态空间中大量繁杂的矩阵推演计算.拟从核空间,象空 间,不变子空间入手,给予它以直观的诠释.目前,几何理论已广泛应用于系统分析与综合中,特别 是Robust调节器设计有关定理证明,自始至终都使用了核空间,象空间的概念与计算方法. 关键词:线性系统几何理论;核空间;象空间;不变子空间 中图分类号:()231.1文献标识码:A 线性系统的几何理论是采用几何语言对线性 系统进行描述分析与综合.使用了核空间,象空间, 不变子空间等概念.在Robust调节器设计及其引 理证明中,都使用了线性几何理论的基本概念和 运算方法,而且立论严谨,简洁清晰.但是对于工程 背景的学习者和研究者来说,会感到比较抽象,因而 需要具备一定的相应数学基础.为此,我们希望通 过本文能起到学习几何理论基本概念的导引 作用. 1子空间子空间的交直和 1.1子空间的定义 设W是7/维线性空间的一个非空子集,即 w(==,若w满足下面条件: (1)对任一向量xEW,以及任意实数ER,恒 有a.x∈W; (2)对任意两个向量X,X.EW,恒有X+X. ∈W; 则称W为的一个子空间.以上两条说明 关于中定义的数乘运算和加法运算是封闭的. 子空间又可如下定义:若中子集w关于数 乘,加法运算是封闭的(即w关于数乘,加法自成一 个线性空间),则称w为的子空间.不难看出, 条件(1),(2)等价于如下条件. (3)1,X2∈W,口l,Ⅱ2ER,恒有: n1X1+a2x2EW. 因此为了验证是否是子空间,只需验证条件(1), (2)或条件(3)即可. 现在考虑一般的情形,设a,a…a,EV,考虑 线性组合: a一口1a1+amp;2a2+…+amp;afaER,i=1,2,…,Z. (1) 将所有形式如式(1)的线性组合所构成的向量集合 记为(==.容易验证是一个子空间,记为: V一span{a1,a2,…,af).(2) 称是由a,a…a所组成的子空间. 向量组经初等变换后,不改变其所张成的子空 间.如Ⅱ1,(f.…(f是n,n.…n的极大线性无关 组,则它们所形成的子空间相同,且维数为川,即这 子空间的维数为极大线性无关组所包含的向量的个 数.因此,可利用向量初等变换,将式(2)化为最简 单形式.今后,求一个子空间也即求形如(2)的最简 单形式. 1.2子空间的交 设,(==是两个子空间,将既属.又属 的所有向量构成的集合记为称为与 :的交,记为: V12一V1nV2. 收稿日期:2O10—1019 作者简介:韩肖宁(1955一),女,山西太原人,教授,主要从事电路理论的教学和研究工作,(E—rllail)hxn55@ 第6期韩肖宁等:线性系统的核空间,象空间,不变子空间的直观诠释497 容易证明.也是子空问.若,已知,由下例 给出交空问V.的求法. 1.3直和 设V,V.是中两个子空间,设,.分别为 ,V中任意一个向量.那么,由形如一a.+. 的所有向量构成的集合记为V+.一V+V:,容易验 证它是一个子空间,称它为V,.的和空间.当 nV:一0(即交为零空问),此时与V的和称为 直和,记为:V1一一V1①V2,如V1一span{口1,口2,…, 口},Vz—span{,z,…,卢},根据定义可知: 10V:一span{l,2,…,口,1,2,…,}. ,口z,…,口,卢,,…,是∈王):的一组基底,且 空间的维数满足如下关系: dim(V10V2)一dim(V)+dim(V!)一z+P. 反之,若: dim(l+V2)一ctim(V1)+dim(V!). 则V与,,.是直和. 2线性映射象空间与核空间不变子空间 2.1线性映射与矩阵 设数域P上的两个线性空间V与分别为 维和维,考虑到V到V的一个对应:V—,如 果满足下列条件: (1)对任意一个Y∈V,有唯一的(Y)∈V与之 对J立; (2)对任意Y,Y2∈V以及口1,2∈R,恒有 (以1Y1+2Y2)一Ⅱ1盯(Y1)+n2盯(Y2). 则称是V到的一个线性映射. 设是V到V的一个线性映射,Y∈V,则称 ()∈为Y的象,而称Y为—(Y)的原象.如 果()一0,必有Y一0,则称为一一映射.若d为 一一 映射,那么当Y