【中考试题研究题库】数学：几何动态探究问题——双动点.docVIP

几何动态探究问题—双动点 1.如图，BD是正方形ABCD的对角线，BC＝2，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线BC运动，同时动点Q从点C出发，以相同的速度沿射线BC运动，当点P出发后，过点Q作QE⊥BD，交直线BD于点E，连接AP、AE、PE、QE，设运动时间为t（秒）． （1）请直接写出动点P运动过程中，四边形APQD是什么四边形？（2）请判断AE，PE之间的数量关系和位置关系，并加以证明；（3）设△EPB的面积为y，求y与t之间的函数关系式；（4）直接写出△EPQ的面积是△EDQ面积的2倍时t的值． 第1题图 解：（1）四边形APQD是平行四边形； 【解法提示】∵四边形ABCD是正方形，P、Q速度相同，∴∠ABE＝∠EBQ＝45°，AD∥BQ，AD＝BC＝2，BP＝CQ，∴BC＝AD＝PQ，∴四边形APQD是平行四边形.（2）AE＝PE，AE⊥PE；理由如下：∵EQ⊥BD，∴∠PQE＝90°?45°＝45°，∴∠ABE＝∠EBQ＝∠PQE＝45°，∴BE＝QE，在△AEB和△EPQ中， ，∴△AEB≌△EPQ（SAS），∴AE＝PE，∠AEB＝∠PEQ，∴∠AEP＝∠BEQ＝90°，∴AE⊥PE；（3）过点E作EF⊥BC于点F， 如解图①所示：BQ＝t＋2，EF＝， ∴y＝××t，即y＝； 第1题解图①　（4）△EPQ面积是△EDQ面积的2倍时t的值为1或3. 【解法提示】分两种情况： ①当P在BC延长线上时，作PM⊥QE于M，如解图②所示： 第1题解图②∵PQ＝2，∠BQE＝45°，∴PM＝PQ＝，BE＝QE＝BQ＝（t＋2），∴DE＝BE?BD＝（t＋2）?2＝t-, ∵△EPQ的面积是△EDQ面积的2倍，∴×（t＋2）×＝2×（t?）×（t＋2），解得t＝3或t＝?2（舍去），∴t＝3；②当P在BC边上时，解法同①，此时DE＝-t，∵△EPQ的面积是△EDQ面积的2倍，∴×（t＋2）×＝2×（-t）×（t＋2），解得：t＝1或t＝?2（舍去），∴t＝1；综上所述，△EPQ的面积是△EDQ面积的2倍时t的值为：1或3． 2.如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，点P从点A出发，沿折线AB?BC向终点C运动，在AB上以每秒5个单位长度的速度运动，在BC上以每秒3个单位长度的速度运动，点Q从点C出发，沿CA方向以每秒个单位长度的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P停止时，点Q也随之停止．设点P运动的时间为t秒．（1）求线段AQ的长；（用含t的代数式表示）（2）连接PQ，当PQ与△ABC的一边平行时，求t的值；（3）如图②，过点P作PE⊥AC于点E，以PE，EQ为邻边作矩形PEQF，点D为AC的中点，连接DF．设矩形PEQF与△ABC重叠部分图形的面积为S． ①当点Q在线段CD上运动时，求S与t之间的函数关系式；②直接写出DF将矩形PEQF分成两部分的面积比为1：2时t的值． 　　　 　　　　　　　 第2题图 解：（1）在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，由勾股定理得：AC＝＝8， ∵点Q在CA上，以每秒个单位移动， ∴CQ＝t，∴AQ＝AC-CQ=8?t． （2）∵P点从AB-BC总时间=4s, ∵点P在AB或BC上运动，点Q在AC上， ∴PQ不可能与AC平行， ①当点P在AB上，则PQ//BC，此时，即，解得t=;②当点P在BC上,此时PQ//AB， ∴，即，解得t＝3s，综上所述，t＝s或3s时，PQ与△ABC的一边平行；（3）①∵点D是AC的中点， ∴CD=4，当点Q运动到点D时，＝4，解得t＝3， 点Q与点E重合时，＝AC＝8，得t＝，分三种情况讨论如下： （i）点Q与点E重合时，t＝AC＝8，得t＝，当0≤t≤，此时矩形PEQF在△ABC内，如解图①所示， ∵AP＝5t，易得AE＝4t，PE＝3t，∴EQ＝AQ－AE＝8－t－4t＝8－t， ∴S＝PE×EQ＝3t（8－t）＝－16t２＋24t； 　　　　　　　　　　　第２题解图 （ii）点P与点B 重合时，5t＝10，得t＝2，当≤t≤2时，如解图②所示，设QF交AB与T，则重叠部分是矩形PEQF的面积减去△PFT的面积． ∵AQ＝8－t，∴QT＝AQ=（8－t）=6-t， ∴FT=PE-QT=3t-(6-t)=4t-6, EQ=AE-AQ=4t-(8-t)=t-8, ∴S=PE·EQ-EQ·Ft =3t·（t-8)-·（t-8)（4t-6） =t2+8t-24； (iii)当2