概率论_第四章大数定律与中心极限定理.docVIP

概率论_第四章大数定律与中心极限定理 . 4.1.1 特征函数的定义 定义4.1.1 设 X 是一随机变量，称 ??(t) = E( eitX ) 为 X 的特征函数. (必定存在) 注意： 是虚数单位. 注 意 点(1) (1) 当X为离散随机变量时， (2) 当X为连续随机变量时， 这是 p(x) 的傅里叶变换 注 意 点(2) 特征函数的计算中用到复变函数，为此注意： (1) 欧拉公式： (2) 复数的共轭： (3) 复数的模： 4.1.2 特征函数的性质 性质4.1.1 |??(t)| ?? ??(0)=1 性质4.1.2 性质4.1.3 性质4.1.4 若 X 与 Y 独立，则 性质4.1.5 特征函数的定理 定理4.1.1 一致连续性. 定理4.1.2 定理4.1.3 定理4.1.4 唯一性. 定理4.1.5 非负定性. 逆转公式. 连续场合， §4.2 大数定律 讨论 “概率是频率的稳定值”的确切含义； 给出几种大数定律： 伯努利大数定律、切比雪夫大数定律、 马尔可夫大数定律、辛钦大数定律. 4.2.1 伯努利大数定律 定理4.2.1（伯努利大数定律） 设 ??n 是n重伯努利试验中事件A出现的次数，每次试验中 P(A) = p, 则对任意的 ?? gt; 0，有 4.2.2 常用的几个大数定律 大数定律一般形式： 若随机变量序列{Xn}满足： 则称{Xn} 服从大数定律. 切比雪夫大数定律 定理4.2.2 {Xn}两两不相关，且Xn方差存在，有共同的上界，则 {Xn}服从大数定律. 证明用到切比雪夫不等式. 马尔可夫大数定律 定理4.2.3 若随机变量序列{Xn}满足： 则 {Xn}服从大数定律. (马尔可夫条件) 辛钦大数定律 定理4.2.4 若随机变量序列{Xn}独立同分布，且Xn的数学期望存在。则 {Xn}服从大数定律. 注 意 点 (1) 伯努利大数定律是切比雪夫大数定律的特例. (2) 切比雪夫大数定律是马尔可夫大数定律的特例. (3) 伯努利大数定律是辛钦大数定律的特例. §4.3 随机变量序列的两种收敛性 两种收敛性： i) 依概率收敛：用于大数定律； ii) 按分布收敛：用于中心极限定理. 4.3.1 依概率收敛 定义4.3.1 (依概率收敛) 大数定律讨论的就是依概率收敛. 若对任意的?? gt;0，有 则称随机变量序列{Yn}依概率收敛于Y, 记为 依概率收敛的性质 定理4.3.1 若 则{Xn}与{Yn}的加、减、乘、除 依概率收敛到 a 与 b 的加、减、乘、除. 4.3.2 按分布收敛、弱收敛 对分布函数列 {Fn(x)}而言，点点收敛要求太高. 定义4.3.2 若在 F(x) 的连续点上都有 则称{Fn(x)} 弱收敛于 F(x) ，记为 相应记 按分布收敛 依概率收敛与按分布收敛的关系 定理4.3.2 定理4.3.3 4.3.3 判断弱收敛的方法 定理4.3.4 辛钦大数定律的证明思路 欲证: 只须证： §4.4 中心极限定理 讨论独立随机变量和的极限分布, 本指出极限分布为正态分布. 4.4.1 独立随机变量和 设 {Xn} 为独立随机变量序列，记其和为 4.4.2 独立同分布下的中心极限定理 定理4.4.1 林德贝格—勒维中心极限定理 设 {Xn} 为独立同分布随机变量序列，数学期望为??, 方差为 ??2gt;0，则当 n 充分大时，有 应用之例: 正态随机数的产生； 误差分析 例4.4.1 每袋味精的净重为随机变量，平均重量为 100克，标准差为10克. 一箱内装200袋味精，求一箱味精的净重大于20500克的概率? 解: 设箱中第 i 袋味精的净重为 Xi, 则Xi 独立同分布， 且 E(Xi)=100，Var(Xi) =100， 由中心极限定理得，所求概率为： = 0.0002 故一箱味精的净重大于20500克的概率为0.0002. (很小) 例4.4.2 设 X 为一次射击中命中的环数，其分布列为 求100次射击中命中环数在900环到930环之间的概率. X P 10 9 8 7 6 0.8 0.1 0.05 0.02 0.03 解: 设 Xi 为第 i 次射击命中的