反比例函数中的存在性问题专练.DOC

老师，这个证明方法你是怎么想到的？ 学习目标:1. 进一步学习数学推理和证明的有关知识； 2. 了解综合法和分析法的逻辑推理方法，提高学生分析问题和数学思维能力。 适合在学完1.5“三角形全等的判定”之后研究该课题。 我们知道，数学证明是确定命题真实性的一种重要方法，对于证明，都有一个如何思维的方法问题。按寻求论证思路来分，证明可分为综合法和分析法两种。 【问题】 已知：如图1， AB＝AD，CD＝CB，AC与BD相交于点O, 求证：BO＝DO，ACBD。 【思考】 （1）对于这个问题我们怎样寻找证明思路呢？如果从已知条件“AB＝AD，CD＝CB，AC与BD相交于点O”出发，根据已知的定义、基本事实（包括推论），一步一步推得结论成立，请你把寻找证明的思路的过程写下来。 （2）如果从要求证“BO＝DO，ACBD”的结论出发，逐步探索使结论成立的理由，最后达到问题的已知条件，你能完成思考过程吗？ 【问题解决】 （1）思路过程如图所示。 （2）从上往下想，从下往上看。 【归纳】 第（1）种思考方法是由已知条件结合已经学过的正确结论（包括定义、定理等），逐步推出未知结论的方法，即“由因导果”，这样的思维方法叫做综合法。第（2）种思考方法是从要证的结论出发，逐步探索使结论成立的理由，最后达到已知条件，这样的思维方法称为分析法，其要点可概括为“执果索因”。上面的框图称为思维导图。用综合法或分析法确定证明思路后就可以写出证明过程了，请同学们自己完成证明过程的表述。 【】【想一想】 ,所以∠ACF=∠ADF。另一方面，又已知∠ACB=90°, CE⊥AB,可得∠B=∠ACF,即得结论∠ADF=∠B。 【方法提炼】 综合法思维路径与证明的表述一致，往往从问题的已知条件出发，根据已知条件能推得哪些结论成立，再把这些结论作为新的条件推出新的结论……如此继续下去直至要证的结论成立。本例中的已知条件能推得全等三角形和【】已知：如图，ABCD，P和PC分别平分和，E过点P，且与直线DC相交于点E。求证：AB=AC+CE。【想一想】 如果用分析法寻找证明思路， 解：如图，要证AB=AC+CE，应先考虑把由ABCD，PB和PC分别平分和，可知APCP，观察图形，如果延长AP与CD交于点F，所以APC=∠FPC，又因为ACP=∠DCP，CP=CP所以，所以AC=CF，所以，AC+CE=CF+CE=EF，（注意到结论，只需证AB=EF）,由AP=PF，APB=∠FPE和ABP=∠E，可证,所以AB=EF=CF+CE=AC+EC. 【方法提炼】 用分析法寻找思维路径时，从要证的结论出发向前寻找使结论成立的条件，再向前寻找使这些条件成立的新条件，……如此继续下去直至到达已知条件为止。 像例2证线段的和、差、倍关系时，经常采用将线段分成几条线段之和或将短线段加长（有时将长线段减短）的办法（即延长补短法），从而使要证的几条线段转化为一条线段，再构造全等三角形证明。 一般地，就证明过程来说，综合法形式简洁，但推得的新结论可能不止一条，需要结合所求进行筛选；分析法能使结论成立的充足理由只有有限几个，每前进一步目的性明确，比较容易达到目的。分析法不仅适用于几何问题，在数学的其它类型中也较常用。值得注意的是，分析法和综合法在问题思考过程中往往联合使用，以分析法为主，伴之以综合法，对探求解题思路特别有效。 【练习与思考】 ．中，∠B＝∠C，D，E，F分别在，，上，且， 求证：． 3.如图，已知BD、CE是的高，点P在BD的延长线上，BP=AC，点Q在CE上，CQ=AB. 求证：AP=AQ且APAQ. 4.如图，在中，点D是边BC的中点，DEDF。试判断BE=CF与EF的大小关系。 【参考答案】 ∴∠BDE=∠FEC 又∵∠B＝∠C，， ∴△BED≌△CEF(AAS) ∴ED=EF 3.证明：BD,CE是△ABC的高, AEC=∠ADB=90°, ∴∠1+∠BAC=90°,∠2+∠BAC=90°, ∴∠1=∠2． 在△ABP与△QCA中, AB=CQ,1=∠2,BP=AC, ∴△ABP≌△QCA（SAS）, AP=AQ,∠P=∠QAC, 又P+∠PAD=90°, ∴∠QAC+∠PAD=90°,即APAQ, ∴AP⊥AQ且AP=AQ． . 答：BE+CF＞FP=EF． 证明：延长ED至P，使DP=DE，连接FP，CP， D是BC的中点，BD=CD， 在△BDE和△CDP中， DP=DE，EDB=∠CDP ，BD=CD BDE≌△CDP（SAS）， BE=CP， DE⊥DF，DE=DP， EF=FP，（垂直平分线上的点到线段两端点距离相等） 在△CFP中，CP+CF=BE+CF＞FP=EF． 【拓展研读】 要证明