第八章 节 量子力学的矩阵形式与表象变换 2 量子力学.pptxVIP

第八章 量子力学的矩阵形式与表象变换;概要;The Hilbert Space and Wave Functions;(b) Multiplication rule The multiplication of vectors by scalars (scalars can be real or complex numbers) has these properties: The product of a scalar with a vector gives another vector. In general, if Ψ and Φ are two vectors of the space, any linear combination a Ψ +b Φ is also a vector of the space, a and b being scalars. Distributivity with respect to addition a(Ψ + Φ ) = a Ψ+a Φ, (a+b) Ψ = a Ψ+b Ψ. Associativity with respect to multiplication of scalars a(b Ψ) = (ab) Ψ For each element Ψ there must exist a unitary scalar I and a zero scalar “0 such that I Ψ= ΨI= Ψ, 0 Ψ= Ψ0=0;The Hilbert Space;RT(θ)是R(θ)的转置矩阵。易看出，变换矩阵R有如下的性质; 在量子力学中，任何一个量子态，可以看成是抽象的Hilbert空间中的一个“矢量”，体系的任何一组力学量完全集F的共同本征态可以用来构成此态空间的一组正交完备的基矢（称为F表象）。;以Ψ′α* 左乘上式并取标积，利用正交归一性得;§ 2.力学量（算符）的矩阵表示;上式表明，把矢量逆时针旋转θ角的操作可用矩阵R(θ)刻画;上式表成矩阵形式则为：;矩阵Fnm的共轭矩阵表示为;Q在自身表象中的矩阵元;第16页;第17页;一 维无限深势阱能量的本征函数基矢为:;当 时，非对角元为:;哈密顿算符 ;分别是L在表象F和F′中的矩阵表示，而S=(Sαk)是从F表象到F′表象的幺正变换。;量子态和力学量的矩阵表示;S是F表象到 F’表象的幺正变换矩阵，其逆变换为：;§ 3. 量子力学的矩阵形式;此即L的本征方程在F表象种的矩阵形式。这是 ak(k=1,2,3…) 的齐次代数方程组，有非平庸解的充要条件为：;例、已知体系的哈密顿算符?与某一力学量算符 ;解：（1）;（2）;（3）设B的本征值为;第30页;第31页;（2）薛定谔方程;;§4 Dirac符号;★ 波函数Ψ(x, t) , 坐标表象 ; ; 与右矢| 相应，左矢 |表示复共轭空间中的一个抽象矢量。所有左矢﹛ |﹜组成右矢﹛| ﹜的复共轭空间. ;2. 标积;（3）正交归一性;Dirac 符号;在上式中，可将 |kk|看成一个投影算符,它对任何矢量运算后，就把该矢量变成它在基矢|k方向上的分量。;在连续谱的情况下，求和变换为积分，例如：;一般地，对于力学量A的连续谱表象，我们有;这里还是抽象的算符，未涉及具体表象。在采用具体的表象(如，F表象)之后,可表示如下，利用表象基矢k|左乘上式，得;5.表象变换;算符L的矩阵元表示：;（1）坐标表象:;（2）动量表象;动量p在坐标表象中的“矩阵”表示;类似地，在动量表象中;第50页;第51页;第52页