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第4章 二元关系和函数 4.1 序偶与笛儿积 4.1 关系及表示 4.2 关系的运算 4.3 关系的性质 4.4 关系的闭包 4.5等价关系和划分 4.1 集合的 笛卡儿积与二元关系 定义4.1.1(有序对(或序偶)) 由两个元素x,y（允许x=y）按一定次序排列组成的二元组称为一个有序对或序偶， 记作〈x, y〉， 其中x是它的第一元素， y是它的第二元素。 注意， 第一、 二元素未必不同。 有序对〈x, y〉 具有以下性质： (1) 当x≠y 时， 〈x, y〉≠〈y, x〉。 (2) 〈x, y〉=〈u, v〉 的充要条件是x=u 且y=v。 (3) 〈x, x〉也是序偶。 由性质(２)可推出　〈x, y〉=〈y, x〉的充要条件是x=y。 有序对的概念可以进一步推广到多元有序组。 n元有序组有如下性质： 〈x1, x2, …， xi,　…, xn〉=〈y1, y2, …， yi， …， yn〉的充要条件是 x1=y1, x2=y2, …, xi=yi, …, xn=yn。 ? 前面提到， 一个序偶〈x, y〉　的两个元素可来自不同的集合， 若第一元素取自集合A, 第二元素取自集合B， 则由A、 B中的元素， 可得若干个序偶， 这些序偶构成的集合， 描绘出集合A与B的一种特征， 称为笛卡儿乘积。 其具体定义如下： 定义4.1.3 设Α, Β 为集合， 用Α中元素为第一元素， Β中元素为第二元素构成有序对。 所有这样的有序对组成的集合称为集合Α和Β的笛卡儿积， 又称作直积， 记作Α×Β。 Α和Β 的笛卡儿积的符号化表示为 A×B={〈x, y〉|x∈A∧y∈B} 定义4.1.4 (n阶笛卡儿积)若n∈N， 且n＞1， A1, A2, …, An是n 个集合， 它们的n 阶笛卡儿积记作A1×A2×…×An , 并定义为: A1×A2×…×An ={〈x1, x2, …, xn〉|x1∈A1∧x2∈A2, …, xn∈An}当A1=A2=…=An=A时， A1×A2×…×An简记为An 例1 设A=｛1, 2｝， B=｛a, b, c｝， C=｛｝, R为实数集， 则 （1） A×B=｛〈1, a〉,〈1, b〉，〈1, c〉， 〈2, a〉，〈2, b〉，〈2, c〉｝ B×A＝｛〈a, 1〉， 〈b, 1〉， 〈c, 1〉， 〈a, 2〉， 〈b, 2〉， 〈c, 2〉｝  ×A= A×(B×C)=｛〈1, 〈a, 〉〉， 〈1, 〈b, 〉〉， 〈1, 〈c, 〉〉， 〈2, 〈a, 〉〉， 〈2, 〈b, 〉〉， 〈2, 〈c, 〉〉｝ （3） A2 ={〈1, 1〉, 〈1, 2〉, 〈2, 1〉, 〈2, 2〉} (4) B2 ={〈a, a〉, 〈a, b〉, 〈a, c〉, 〈b, a〉, 〈b, b〉, 〈b, c〉, 〈c, a〉, 〈c, b〉, 〈c, c〉} 显然A×B与 B×A所含元素的个数相同（A, B是有限集合）， 但A×B≠B×A。 定理4.1.1 若A, B是有穷集合， 则有 |A×B|=|A|·|B| (·为数乘运算) 该定理由排列组合的知识不难证明。 定理4.1.3 (笛卡儿积与∪， ∩， ～运算的性质) 对任意的集合A, B 和C， 有 证明 我们仅证明（1）和（5）， 其余完全类似。 （1） 对任意x， y， 有 〈x,y∈A×(B∪C) x∈A∧y∈(B∪C) x∈A∧(y∈B∨y∈C) (x∈A∧y∈B)∨(x∈A∧y∈C) 〈x,y〉∈A×