w4.3积分计算（三） 高等数学 专升本 同济第六版.pptVIP

§4.3.1 换元积分法 §4.3.1 换元积分法 例6 求下列定积分 解： 1、令 则 当 时, 当 时, §4.3.1 换元积分法 2、令 则 当 时, 当 时, §4.3.1 换元积分法 §4.3.1 换元积分法 此题用定积分的几何意义计 算更简单. 练一练 求下列定积分 §4.3.1 换元积分法 解： 1、令 则 当 时, 当 时, §4.3.1 换元积分法 2、令 则 当 时, 当 时, §4.3.1 换元积分法 定理 设函数 在区间 上连续 证明 (1) 当 为偶函数时, (2) 当 为奇函数时, (3) 若被积函数 是周期为 的连续函数, 则对于任意常数 ,有 §4.3.1 换元积分法 证明： (1) 为偶函数, 设 当 时, 当 时, §4.3.1 换元积分法 (2) 类似于(1)的证明. §4.3.1 换元积分法 例7 选择题 1、若函数 则 ( ) 2、下列定积分等于零的是( ) A C §4.3.1 换元积分法 说明 若积分区间关于原点对称， 但被积函 数非奇非偶， 可通过拆项、展开、恒 等变形等方法， 函数与奇函数之和. 将被积函数分解成偶 §4.3.1 换元积分法 例8 求下列定积分 解： §4.3.1 换元积分法 课堂 练习 求下列定积分 §4.3.1 换元积分法 解： §4.3.1 换元积分法 (三) §4.3.1 换元积分法 不定积分的换元法 2、第二换元积分法 设函数 连续, 函数 单调可导, 则有 定理 且 , 如果 §4.3.1 换元积分法 步骤 换元 由基本公式 或凑微分 变量回代 §4.3.1 换元积分法 (一)、无理函数的积分 1、形如 型 方法： 令 则 即 代入求积分、 §4.3.1 换元积分法 例1 求不定积分 解： 令 则 §4.3.1 换元积分法 2、形如 和 型 方法： 令 为 的最小公倍数 按照第一种方法进行积分. 例2 求不定积分 §4.3.1 换元积分法 解： 令 则 换元积分法 练一练 求下列不定积分 §4.3.1 换元积分法 解： 1、令 则 2、令 则 §4.3.1 换元积分法 §4.3.1 换元积分法 (二)、三角函数的积分 令 令 §4.3.1 换元积分法 令 则 令 令 令 §4.3.1 换元积分法 如： §4.3.1 换元积分法 1、令 2、令 §4.3.1 换元积分法 3、令 §4.3.1 换元积分法 例3 求不定积分 解： 令 则 §4.3.1 换元积分法 §4.3.1 换元积分法 特注 在具体解题时，不要拘泥于变量 代换， 应该根据被积函数的具体情况选 择尽可能简捷的代换. §4.3.1 换元积分法 例4 求不定积分 解法一： (三角代换) 令 则 §4.3.1 换元积分法 §4.3.1 换元积分法 解法二： (凑微分) §4.3.1 换元积分法 课堂 练习 求不定积分 §4.3.1 换元积分法 定积分的换元法 定理 设函数 在区间 上连续, 而 满足下列条件： (1) 在区间 上单值且有连续导数 , (2) 当 在区间 上变化时, 的值 在 上变化,且 则有 §4.3.1 换元积分法 例5 求下列定积分 解： §4.3.1 换元积分法 §4.3.1 换元积分法 另解： §4.3.1 换元积分法 §4.3.1 换元积分法 随堂练习 §4.3.1 换元积分法 解：