第四章+几种重要随机过程-2.pptVIP

4.5.4 非齐次泊松过程 事件发生的次数为泊松过程, 如果每次发生产生若干个结果, 那么在一段时间内产生的所有结果数目的统计特征如何? 4.5.5 复合泊松过程 定义： 设{N(t), t≥0} 是强度为λ的泊松过程，{Yn, n ≥1}是相互独立同分布的随机变量序列，且{N(t), t≥0}与{Yn, n ≥1}相互独立，记 则称{X(t), t≥0} 为复合泊松过程。 当Yn=1时，X(t)= N(t), {X(t), t≥0}是通常的泊松过程。 物理意义：若{N(t),t ≥0}表示粒子流，N(t)表示[0, t)内到达的粒子数，Yn表示第n个粒子的能量，X(t)表示[0, t)内到达的粒子的总能量。 4.5.5 复合泊松过程 判断是否复合泊松过程的要点： 要存在一个泊松过程和一个随机变量序列；判断随机变量序列的独立性，以及随机变量序列与泊松过程的独立性。 举例： （1）若顾客到达某服务系统的时间间隔为相互独立、同服从指数分布的随机变量，那么，顾客到达某服务系统的次数{N(t),t ≥0}为泊松过程。若在tn(n ≥1)时刻同时到达的顾客数为Yn(n ≥1), {Yn, n ≥1}是相互独立同分布，且与顾客到达时刻相互独立，则在[0, t)内到达的顾客总人数 便为复合泊松过程。 如果每次到达的顾客数都是1，则是通常的泊松过程。 4.5.5 复合泊松过程 举例： （2）保险公司接到索赔的次数是一泊松过程，每次索赔的金额是一列独立同分布的随机变量，显然索赔的金额与索赔的时刻相互独立，则在[0, t)内的索赔总金额是一复合泊松过程。 （3）若某设备发生故障的次数为泊松过程，各次故障的修理费是相互独立和同分布的，而且修理费和发生故障的时间相互独立，则在[0, t)内的总修理费是一复合泊松过程。 …… 4.5.5 复合泊松过程 统计特征： 设{X(t), t≥0} 为复合泊松过程，{N(t), t≥0} 是强度为λ的泊松过程，{Yn, n≥1}是相互独立同分布的随机变量序列，且{N(t), t≥0}与{Yn, n≥1}相互独立， 均值： 均方值： 4.5.5 复合泊松过程 统计特征： 方差： 协方差： 4.5.5 复合泊松过程 统计特征： 特征函数： 4.5.5 复合泊松过程 统计特征： 例：带电粒子流撞击到靶上形成电流。设粒子流是强度为λ的泊松过程，每个粒子所带正电荷服从参数为a的指数分布，求[0, t)内到达的电荷总量的数字特征。 解：粒子流 N(t), 强度为λ的泊松过程 电荷总量 , 复合泊松过程 粒子所带电荷Y服从指数分布: * * 4 几种重要的随机过程 正态过程（高斯过程） 独立过程 独立增量过程 维纳过程 泊松过程 4.5.1 计数过程 定义：在[0, t)内出现随机事件A的总数组成的过程{N(t), t ≥0} 称为计数过程。计数过程满足： （1） N(t) ≥0 ； （2）N(t)是正整数； （3）如果有两个时刻t1, t2，且t1t2，则N(t1)≤ N(t2); （4）对于t1t2，N(t2)-N(t1)表示在时间间隔[t1, t2）内事件A出现的次数。 若计数过程在不相交的事件间隔内事件A出现的次数是相互独立的，则称此计数过程为独立增量计数过程。 若计数过程在时间间隔[t1,t1+s)内出现事件A的次数只与时间差S有关，而与起始时间t1无关，则称此计数过程为平稳增量计数过程。 4.5 泊松过程 4.5.2 泊松过程及其性质 泊松过程定义： 定义1 如果计数过程 {N(t), t ≥0} 满足： （1） P{N(0)=0}=1 ； （2）N(t)是平稳独立增量过程； （3）在[t, t+Δt)内出现一次事件的概率为 （4）在[t, t+Δt)内出现二次及二次以上事件的概率为 则称{N(t), t ≥0} 是参数为λ的泊松过程(齐次)。 显然，在[t,t+Δt)内不出现事件的概率为 4.5.2 泊松过程及其性质 泊松过程定义： 定义2 如果计数过程 {N(t), t ≥0} 满足： （1）P{N(0)=0}=1 ； （2）N(t)是独立增量过程； （3）对于任意0≤t1t2，N(t2)-N(t1)服从参数为λ(t2-t1)的泊松分布，即 则称{N(t), t ≥0} 是参数为λ的泊松过程。 定义1给出在小的时间间隔内增量分布的极限性