2017秋（北师大版）九年级数学上册第1章 阶段方法技巧训练 专训1　利用矩形的性质巧解折叠问题.docVIP

专训1　利用矩形的性质巧解折叠问题 折叠问题往往通过图形的折叠找出线段或角与原图形之间的联系，从而得到折叠部分 利用矩形的性质巧求折叠中的角 1．当身边没有量角器时，怎样得到一些特定度数的角呢？动手操作有时可以解“燃眉之急”．如图，已知矩形纸片ABCD(矩形纸片要足够长)，我们按如下步骤操作可以得到一个特定的角： (1)以点A所在直线为折痕，折叠纸片，使点B落在边AD上，折痕与BC交于点E； (2)将纸片展平后，再一次折叠纸片，以点E所在直线为折痕，使点A落在BC上，折痕EF交AD于F，求∠AFE的度数． (第1题) 利用矩形的性质巧求折叠中线段的长 2．【2016·台湾】图①为长方形纸片ABCD，AD＝26，AB＝22，直线L，M皆为长方形的对称轴．今将长方形纸片沿着L对折后，再沿着M对折，并将对折后的纸片左上角剪下直角三角形，形成一个五边形EFGHI，如图②，最后将图②的五边形展开后形成一个八边形，如图③，且八边形的每一边长恰好均相等． (第2题) (1)若图②中的HI长度为x，请用x分别表示剪下的直角三角形的勾长和股长． (2)请求出图③中八边形的一边长的数值，并写出完整的解题过程． 利用矩形的性质巧证折叠中线段的关系 3．如图，将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点E处，BE交AD于F，连接AE. 求证：(1)BF＝DF；(2)AE∥BD. (第3题) 利用矩形的性质巧求折叠中线段的比 4．如图，将一张矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，使点C落在点A处，点D落在点E处，直线MN交BC于点M，交AD于点N. (1)求证：CM＝CN； (2)若△CMN的面积与△CDN的面积比为31，求的值． (第4题) (第1题) 1．解：设折叠后，点A的对应点为点A′，点B的对应点为点B′，如图，由折叠的性质得∠AEF＝∠A′EF，∠BEA＝∠AEB′， ∠B＝∠AB′E，BE＝B′E，AE＝EA′. ∵∠BAB′＝∠ABE＝90°， ∴∠BEB′＝90°. ∴∠BEA＝∠AEB′＝45°. 又∠BEA＋∠AEF＋∠FEA′＝180°， ∴∠FEA67.5°. ∵AD∥BC，∴∠AFE＝∠FEA′＝67.5°. 2．解：(1)分别延长HI与FE，相交于点N，如图． ∵HN＝AD＝13，NF＝AB＝11，HI＝EF＝x， ∴NI＝HN－HI＝13－x，NE＝NF－EF＝11－x. ∴剪下的直角三角形的勾长为11－x，股长为13－x. (第2题) (2)在Rt△ENI中，NI＝13－x，NE＝11－x， ∴EI＝＝. ∵八边形的每一边长恰好均相等， ∴EI＝2HI＝2x＝， 整理得：x2＋24x－145＝0， (x－5)(x＋29)＝0， 解得：x＝5，或x＝－29(舍去)． ∴EI＝2×5＝10. 故八边形的边长为10. 3．证明：(1)由折叠的性质可知，∠FBD＝∠CBD.因为在矩形ABCD中，AD∥BC，所以∠FDB＝∠CBD. 所以∠FBD＝∠FDB.所以BF＝DF. (2)因为四边形ABCD是矩形，所以AB＝DC，AD＝BC.由折叠的性质可知，DC＝ED＝AB，BC＝BE＝AD. 又因为AE＝AE，所以△AEB≌△EAD.所以∠AEB＝∠EAD. 所以∠AEB＝(180°－∠AFE)． 由(1)知∠DBE＝∠BDF， 所以∠DBE＝(180°－∠BFD)． 而∠AFE＝∠BFD， 所以∠AEB＝∠DBE. 所以AE∥BD.　 4．(1)证明：由折叠的性质可得点A，C关于直线MN对称，∴∠ANM＝∠CNM.∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC.∴∠ANM＝CMN. ∴∠CMN＝∠CNM.∴CM＝CN. (2)解：过点N作NH⊥BC于点H，则四边形NHCD是矩形，∴HC＝DN，NH＝DC.∵△CMN的面积与△CDN的面积比为3∶1， ∴＝＝＝3. ∴MC＝3DN＝3HC. ∴MH＝2HC.设DN＝x， 则HC＝x，MH＝2x.∴CM＝3x＝CN. 在Rt△CDN中，DC＝＝2x， ∴NH＝2x.在Rt△MNH中，MN＝＝2x. ∴＝＝2.