2019届高考数学（北师大版文）复习配套练习：第十三章　系列4选讲+第二节+第2讲　不等式的证明+Word版含答案.docVIP

第2讲　不等式的证明 1．设不等式|2x－1|＜1的解集为M. (1)求集合M； (2)若a，bM，试比较ab＋1与a＋b的大小． 解　(1)由|2x－1|＜1得－1＜2x－1＜1， 解得0＜x＜1.所以M＝{x|0＜x＜1}． (2)由(1)和a，bM可知0＜a＜1,0＜b＜1， 所以(ab＋1)－(a＋b)＝(a－1)(b－1)＞0. 故ab＋1＞a＋b. 2．已知a，b，c均为正实数，且互不相等，且abc＝1，求证：＋＋＜＋＋. 证明　法一　a，b，c均为正实数，且互不相等，且abc＝1， ＋＋＝＋＋＜＋＋＝＋＋. ＋＋＜＋＋. 法二　＋≥2＝2； ＋≥2＝2；＋≥2＝2. 以上三式相加，得＋＋≥ ＋＋. 又a，b，c互不相等，＋＋＞＋＋. 法三　a，b，c是不等正数，且abc＝1， ＋＋＝bc＋ca＋ab＝＋＋＞＋＋＝＋＋. ＋＋＜＋＋. 3．(2017·衡阳二联)已知函数f(x)＝|x－3|. (1)若不等式f(x－1)＋f(x)＜a的解集为空集，求实数a的取值范围； (2)若|a|＜1，|b|＜3，且a≠0，判断与f的大小，并说明理由． 解　(1)因为f(x－1)＋f(x)＝|x－4|＋|x－3|≥|x－4＋3－x|＝1， 不等式f(x－1)＋f(x)＜a的解集为空集， 则1≥a即可， 所以实数a的取值范围是(－∞，1]． (2)＞f. 证明：要证＞f， 只需证|ab－3|＞|b－3a|， 即证(ab－3)2＞(b－3a)2， 又(ab－3)2－(b－3a)2＝a2b2－9a2－b2＋9＝(a2－1)(b2－9)． 因为|a|＜1，|b|＜3，所以(ab－3)2＞(b－3a)2成立， 所以原不等式成立． 4．(2015·陕西卷)已知关于x的不等式|x＋a|＜b的解集为{x|2＜x＜4}． (1)求实数a，b的值； (2)求＋的最大值． 解　(1)由|x＋a|＜b，得－b－a＜x＜b－a， 则解得 (2)＋＝＋ ≤ ＝2＝4， 当且仅当＝，即t＝1时等号成立， 故(＋)max＝4. 5．(2015·全国卷)设a，b，c，d均为正数，且a＋b＝c＋d.证明： (1)若ab＞cd，则＋＞＋； (2)＋＞＋是|a－b|＜|c－d|的充要条件． 证明　(1)因为(＋)2＝a＋b＋2，(＋)2＝c＋d＋2，由题设a＋b＝c＋d，ab＞cd得(＋)2＞(＋)2.因此＋＞＋. (2)若|a－b|＜|c－d|， 则(a－b)2＜(c－d)2, 即(a＋b)2－4ab＜(c＋d)2－4cd. 因为a＋b＝c＋d，所以ab＞cd. 由(1)得＋＞＋. ②若＋＞＋， 则(＋)2＞(＋)2， 即a＋b＋2＞c＋d＋2. 因为a＋b＝c＋d，所以ab＞cd， 于是(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＜(c＋d)2－4cd＝(c－d)2. 因此|a－b|＜|c－d|. 综上，＋＞＋是|a－b|＜|c－d|的充要条件． 6．已知a，b，c均为正实数．求证： (1)(a＋b)(ab＋c2)≥4abc； (2)若a＋b＋c＝3，则＋＋≤3. 证明　(1)要证(a＋b)(ab＋c2)≥4abc， 可证a2b＋ac2＋ab2＋bc2－4abc≥0， 需证b(a2＋c2－2ac)＋a(c2＋b2－2bc)≥0， 即证b(a－c)2＋a(c－b)2≥0，当且仅当a＝b＝c时，取等号， 由已知，上式显然成立，故不等式(a＋b)(ab＋c2)≥4abc成立． (2)因为a，b，c均为正实数，由不等式的性质知 ·≤＝，当且仅当a＋1＝2时，取等号，·≤＝，当且仅当b＋1＝2时，取等号，·≤＝，当且仅当c＋1＝2时，取等号， 以上三式相加，得(＋＋)≤＝6， 所以＋＋≤3，当且仅当a＝b＝c＝1时，取等号．