2019届高考数学（北师大版文）复习配套练习：第十三章　系列4选讲+第一节+第2讲　参数方程+Word版含答案.docVIP

第2讲　参数方程 1．(2017·合肥调研)在直角坐标系xOy中，曲线C：(α为参数)，在以O为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l：ρsin θ＋ρcos θ＝m. (1)若m＝0时，判断直线l与曲线C的位置关系； (2)若曲线C上存在点P到直线l的距离为，求实数m的取值范围． 解　(1)曲线C的直角坐标方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2，是一个圆； 直线l的直角坐标方程为x＋y＝0， 圆心C到直线l的距离为d＝＝＝r， 所以直线l与圆C相切． (2)由已知可得，圆心C到直线l的距离为d＝≤，解得－1≤m≤5. 所以实数m的取值范围为[－1,5]． 2．在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(θ为参数)，直线l经过点P(1,2)，倾斜角α＝. (1)写出圆C的普通方程和直线l的参数方程； (2)设直线l与圆C相交于A，B两点，求|PA|·|PB|的值． 解　(1)由消去θ， 得圆C的普通方程为x2＋y2＝16. 又直线l过点P(1,2)，且倾斜角α＝. 所以l的参数方程为 即(t为参数)． (2)把直线l的参数方程代入x2＋y2＝16， 得2＋2＝16，t2＋(＋2)t－11＝0， 所以t1t2＝－11. 由参数方程的几何意义，|PA|·|PB|＝|t1t2|＝11. 3．(2016·全国卷)在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x＋6)2＋y2＝25. (1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程； (2)直线l的参数方程是(t为参数)，l与C交于A，B两点，|AB|＝，求l的斜率． 解　(1)由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ可得圆C的极坐标方程为ρ2＋12ρcos θ＋11＝0. (2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝α(ρR)． 设A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2＋12ρcos α＋11＝0. 于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11. |AB|＝|ρ1－ρ2|＝＝. 由|AB|＝得cos2α＝，tan α＝±. 所以l的斜率为或－.4．以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位．已知直线l的参数方程为(t为参数，0＜α＜π)，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝4cosθ. (1)求曲线C的直角坐标方程； (2)设直线l与曲线C相交于A，B两点，当α变化时，求|AB|的最小值． 解　(1)由ρsin2θ＝4cos θ得(ρsin θ)2＝4ρcos θ， 曲线C的直角坐标方程为y2＝4x. (2)将直线l的参数方程代入y2＝4x得到t2sin2α－4tcos α－4＝0. 设A，B两点对应的参数分别是t1，t2， 则t1＋t2＝，t1t2＝－. |AB|＝|t1－t2|＝＝≥4，当α＝时取到等号． |AB|min＝4，即|AB|的最小值为4. 5．(2014·全国卷)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ. (1)求C的参数方程； (2)设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y＝x＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D的坐标． 解　(1)C的普通方程为(x－1)2＋y2＝1(0≤y≤1)． 可得C的参数方程为 (t为参数，0≤t≤π)． (2)设D(1＋cos t，sin t)，由(1)知C是以C(1，0)为圆心， 1为半径的上半圆．因为C在点D处的切线与l垂直， 所以直线CD与l的斜率相同，tan t＝，t＝.故D的直角坐标为，即. 6．(2017·长沙模拟)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(α为参数)，在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρsin＝. (1)求C的普通方程和l的倾斜角； (2)设点P(0,2)，l和C交于A，B两点，求|PA|＋|PB|的值． 解　(1)由消去参数α，得＋y2＝1， 即C的普通方程为＋y2＝1. 由ρsin＝，得ρsin θ－ρcos θ＝2，(*) 将代入(*)，化简得y＝x＋2， 所以直线l的倾斜角为. (2)由(1)知，点P(0,2)在直线l上，可设直线l的参数方程为(t为参数)， 即(t为参数)， 代入＋y2＝1并化简，得5t2＋18t＋27＝0， Δ＝(18)2－4×5×27＝108＞0， 设A，B两点对应的参数分别为t1，t2， 则t1＋t2＝－＜0，t1t2＝＞0，所以t1＜0，t2＜0，所以|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝－(t1＋t2)＝.