2019届高考数学（北师大版文）复习配套练习：第十三章　系列4选讲+第一节+第1讲　坐标系+Word版含答案.docVIP

第1讲　坐标系 1．在极坐标系下，已知圆O：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l：ρsin＝. (1)求圆O和直线l的直角坐标方程； (2)当θ(0，π)时，求直线l与圆O公共点的一个极坐标． 解　(1)圆O：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ， 圆O的直角坐标方程为：x2＋y2＝x＋y， 即x2＋y2－x－y＝0， 直线l：ρsin＝， 即ρsin θ－ρcos θ＝1， 则直线l的直角坐标方程为：y－x＝1，即x－y＋1＝0. (2)由得 故直线l与圆O公共点的一个极坐标为. 2．(2017·贵阳调研)以直角坐标系中的原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，已知曲线的极坐标方程为ρ＝. (1)将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)过极点O作直线l交曲线于点P，Q，若|OP|＝3|OQ|，求直线l的极坐标方程． 解　(1)ρ＝，ρsin θ＝y， ρ＝化为ρ－ρsin θ＝2， 曲线的直角坐标方程为x2＝4y＋4. (2)设直线l的极坐标方程为θ＝θ0(ρR)， 根据题意＝3·， 解得θ0＝或θ0＝， 直线l的极坐标方程θ＝(ρR)或θ＝(ρR)． 3．在极坐标系中，求曲线ρ＝2cos θ关于直线θ＝对称的曲线的极坐标方程． 解　以极点为坐标原点，极轴为x轴建立直角坐标系，则曲线ρ＝2cos θ的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，且圆心为(1,0)．直线θ＝的直角坐标方程为y＝x，因为圆心(1,0)关于y＝x的对称点为(0,1)， 所以圆(x－1)2＋y2＝1关于y＝x的对称曲线为x2＋(y－1)2＝1. 所以曲线ρ＝2cos θ关于直线θ＝对称的曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ. 4．在极坐标系中，已知圆C的圆心C，半径r＝3. (1)求圆C的极坐标方程； (2)若点Q在圆C上运动，点P在OQ的延长线上，且＝2，求动点P的轨迹方程． 解　(1)设M(ρ，θ)是圆C上任意一点． 在OCM中，COM＝，由余弦定理得 |CM|2＝|OM|2＋|OC|2－2|OM|·|OC|cos， 化简得ρ＝6cos. (2)设点Q(ρ1，θ1)，P(ρ，θ)， 由＝2，得＝， ρ1＝ρ，θ1＝θ， 代入圆C的方程，得 ρ＝6cos，即ρ＝9cos. 5．(2015·全国卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1：(t为参数，t≠0)，其中0≤α＜π.在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝2sin θ，C3：ρ＝2cos θ. (1)求C2与C3交点的直角坐标； (2)若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值． 解　(1)曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，曲线C3的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0. 联立解得或 所以C2与C3交点的直角坐标为(0,0)和. (2)曲线C1的极坐标方程为θ＝α(ρR，ρ≠0)， 其中0≤α＜π. 因此A的极坐标为(2sin α，α)，B的极坐标为(2cos α，α)． 所以|AB|＝|2sin α－2cos α|＝4. 当α＝时，|AB|取得最大值，最大值为4. 6．(2017·唐山质检)已知曲线C1：x＋y＝和C2：(φ为参数)．以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且两种坐标系中取相同的长度单位． (1)把曲线C1和C2的方程化为极坐标方程； (2)设C1与x，y轴交于M，N两点，且线段MN的中点为P.若射线OP与C1，C2交于P，Q两点，求P，Q两点间的距离． 解　(1)曲线C1化为ρcos θ＋ρsin θ＝. ρsin＝. 曲线C2化为＋＝1(*) 将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入(*)式 得cos2θ＋sin2θ＝1，即ρ2(cos2θ＋3sin2θ)＝6. 曲线C2的极坐标方程为ρ2＝. (2)M(，0)，N(0,1)，P， OP的极坐标方程为θ＝， 把θ＝代入ρsin＝，得ρ1＝1，P. 把θ＝代入ρ2＝，得ρ2＝2，Q. |PQ|＝|ρ2－ρ1|＝1，即P，Q两点间的距离为1.