2019届高考数学（北师大版文）复习配套练习：第十三章　系列4选讲+第二节+第1讲　绝对值不等式+Word版含答案.docVIP

第1讲　绝对值不等式 1．设函数f(x)＝|2x＋1|－|x－4|. (1)解不等式f(x)＞2； (2)求函数y＝f(x)的最小值． 解　(1)法一　令2x＋1＝0，x－4＝0分别得x＝－，x＝4. 原不等式可化为： 或或 即或或 x＜－7或x＞. 原不等式的解集为. 法二　f(x)＝|2x＋1|－|x－4|＝ 画出f(x)的图像，如图所示． 求得y＝2与f(x)图像的交点为(－7,2)，. 由图像知f(x)＞2的解集为. (2)由(1)的法二图像知：当x＝－时， 知：f(x)min＝－. 2．(2017·长沙一模)设α，β，γ均为实数． (1)证明：|cos(α＋β)|≤|cos α|＋|sin β|，|sin(α＋β)|≤|cos α|＋|cos β|； (2)若α＋β＋γ＝0，证明：|cos α|＋|cos β|＋|cos γ|≥1. 证明　(1)|cos(α＋β)|＝|cos αcos β－sin αsin β|≤ |cos αcos β|＋|sin αsin β|≤|cos α|＋|sin β|； |sin(α＋β)|＝|sin αcos β＋cos αsin β|≤|sin αcos β|＋ |cos αsin β|≤|cos α|＋|cos β|. (2)由(1)知，|cos[α＋(β＋γ)]|≤|cos α|＋|sin(β＋γ)|≤|cos α|＋|cos β|＋|cos γ|， 而α＋β＋γ＝0，故|cos α|＋|cos β|＋|cos γ|≥1. 3．(2016·镇江模拟)已知a和b是任意非零实数． (1)求的最小值； (2)若不等式|2a＋b|＋|2a－b|≥|a|(|2＋x|＋|2－x|)恒成立，求实数x的取值范围． 解　(1)≥＝＝4，的最小值为4. (2)若不等式|2a＋b|＋|2a－b|≥|a|(|2＋x|＋|2－x|)恒成立，即|2＋x|＋|2－x|≤恒成立， 故|2＋x|＋|2－x|≤min. 由(1)可知，的最小值为4. x的取值范围即为不等式|2＋x|＋|2－x|≤4的解集． 解不等式得－2≤x≤2. 故实数x的取值范围为[－2,2]． 4．(2017·广州二测)已知函数f(x)＝log2(|x＋1|＋|x－2|－a)． (1)当a＝7时，求函数f(x)的定义域； (2)若关于x的不等式f(x)≥3的解集是R，求实数a的最大值． 解　(1)由题设知|x＋1|＋|x－2|＞7， 当x＞2时，得x＋1＋x－2＞7，解得x＞4. 当－1≤x≤2时，得x＋1＋2－x＞7，无解． 当x＜－1时，得－x－1－x＋2＞7，解得x＜－3. 函数f(x)的定义域为(－∞，－3)(4，＋∞)． (2)不等式f(x)≥3，即|x＋1|＋|x－2|≥a＋8， 当xR时， 恒有|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3， 又不等式|x＋1|＋|x－2|≥a＋8的解集是R， a＋8≤3，即a≤－5， a的最大值为－5. 5．设函数f(x)＝2|x－1|＋x－1，g(x)＝16x2－8x＋1.记f(x)≤1的解集为M，g(x)≤4的解集为N. (1)求M； (2)当x(M∩N)时，证明：x2f(x)＋x[f(x)]2≤. (1)解　f(x)＝ 当x≥1时，由f(x)＝3x－3≤1， 得x≤，故1≤x≤； 当x1时，由f(x)＝1－x≤1得x≥0，故0≤x1. 所以f(x)≤1的解集为M＝{x|0≤x≤}． (2)证明　由g(x)＝16x2－8x＋1≤4得162≤4，解得－≤x≤.因此N＝， 故M∩N＝. 当x(M∩N)时，f(x)＝1－x，于是 x2f(x)＋x·[f(x)]2＝xf(x)[x＋f(x)]＝x·f(x)＝x(1－x)＝－2≤. 6．(2017·郑州模拟)已知函数f(x)＝|2x－a|＋|2x＋3|，g(x)＝|x－1|＋2. (1)解不等式：|g(x)|＜5； (2)若对任意的x1R，都有x2R，使得f(x1)＝g(x2)成立，求实数a的取值范围． 解　(1)由||x－1|＋2|＜5，得－5＜|x－1|＋2＜5， 所以－7＜|x－1|＜3， 解不等式得－2＜x＜4， 所以原不等式的解集是{x|－2＜x＜4}． (2)因为对任意的x1R，都有x2R， 使得f(x1)＝g(x2)成立， 所以{y|y＝f(x)}{y|y＝g(x)}， 又f(x)＝|2x－a|＋|2x＋3|≥|2x－a－(2x＋3)|＝|a＋3|，g(x)＝|x－1|＋2≥2， 所以|a＋3|≥2， 解得a≥－1或a≤－5， 所以实数a的取值范围是{a|a≥－1或a≤－5}.