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4．4系统的复频域分析  4．4．1微分方程的变换解 4．4．2连续系统的系统函数 系统函数的零、极点分布图 零点用 “ ”表示 ,极点用“ ” 表示。 　 　　　如：　　　　　　的零、极点分布图为 系统的s域模拟框图－基本运算器 例子：已知某LTI系统有图（a）所示的时域框图， 试列出其微分方程。 4．4．3电路复频域模型 4．4．4连续时间系统稳定性 稳定系统的定义 ：一个系统，若对任意的有界输入，其零状态响应也是有界的，则称该系统是有界输入有界输出(Bound Input Bound Output ，BIBO)稳定的系统，简称为稳定系统。 连续系统在时域稳定的充分必要条件是 s域系统函数极点位置与稳定性的关系 稳定系统 ：全部极点都落在s平面的左半平面。 不稳定系统 ：全部极点都落在s平面的右半平面 ，或在虚轴上有二阶以上的极点。 临界稳定系统 ：全部极点都落在s平面的虚轴上，且只有一阶。 连续因果系统稳定性判断准则－ 罗斯-霍尔维兹（Routh-Hurwitz）准则 霍尔维兹多项式 ：所有根均在s平面的左半平面的多项式。 罗斯列表 ：将多项式 　的系数排列为 由第1，2行，按下列规则计算可得到： 例１： 例２：已知某因果系统的系统函数 * * 描述n阶系统的微分方程的一般形式 对上式两边分别取拉普拉斯变换，并利用时域微分特性，可得 即 例子：描述某LTI连续系统的微分方程为 试求系统的零输入响应、零状态响应和全响应。 解： 对微分方程取拉普拉斯变换,可得 即 可解得全响应 将 和初值代入上式，得 于是零输入响应、零状态响应分别为 全响应 实际上，如果直接对Y(s)取拉普拉斯反变换,亦可求得全响应 可见直接求全响应时，零状态响应分量和零输入响应分量已经 叠加在一起，看不出不同原因引起的各个响应分量的具体情况。 拉普拉斯变换作为一种数学工具，自动引入了初始状态，从而 简化了微分方程的求解。 系统函数与系统的激励、初始状态无关，仅决定于系统本身的结构和元件参数 。实际上 冲激响应与系统函数构成了一对拉普拉斯变换对。二者分别从时域和复频域两个角度表征了同一系统的特性。 频率响应函数与系统函数之间的关系为 应用s域分析法求解系统响应的步骤: 例子 ：已知某LTI因果系统的零状态响应 求该系统的频率响应、冲激响应和描述该系统的微分方程。 解: 分母、分子多项式 系数与微分方程等号两 边的系数是一一对应的. 极点的位置与其时域响应的函数形式 解: 设左边加法器输出为 得 又 （a） （b） 1、电阻 2、电感 3、电容 有了电路元件的复频域模型，就可以得到一般电路的 复频域模型。时域的KVL、KCL方程， 在复频域中同样成立。对上式分别取拉普拉斯变换，可得 应用电路分析中的基本分析方法（节点法、网孔法等）和 基本定理（如叠加定理、戴维南定理等），列出复频域的代数 方程，并求解得到响应的象函数，对所求响应的象函数进行拉 普拉斯反变换，即得出响应的时域解。 例子： 如图（a）所示电路，开关Ｋ在t=0时闭合　　　　 　　　　 　　　　试求开关闭合后的电流 取拉普拉斯反变换得， 解： 有限的 正实数 第1行 第2行 第3行 … … … 第4行由2，3行同样方法得到，一直排到第 n+1行． 　　该准则指出：若第一列元素具有相同的符号，则所有 的根均在左半平面，系统稳定。 　　若第一列元素出现符号改变，则符号改变的总次数就 是右半平面根的个数。 第1列元素符号改变2次，因此，有2个根位于右半平面， 系统不稳定。 在排罗斯阵列时，可能遇到一些特殊情况， 如第一列的某个元素为0或某一行元素全为0，这 时可断言，该多项式不是霍尔维兹多项式。 注 意 *