高中数学立体几何平行.docVIP

直线与平面平行教案 证明直线与平面平行的常用方法有：（1）根据定义，用反证法证明（2）证明直线在平面外且与平面内的某一条直线平行（3）证明直线在与已知平面平行的平面内（4）向量法，证明直线的一个方向向量，能用已知平面内的一个基底表示, 或与平面的法向量垂直 例1 如下图，两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，M∈AC，N∈FB且AM=FN，求证：MN∥平面BCE 证法一：过M作MP⊥BC，NQ⊥BE，P、Q为垂足，连结PQ ∵MP∥AB，NQ∥AB，∴MP∥NQ 又NQ= BN=CM=MP， ∴MPQN是平行四边形 ∴MN∥PQ，PQ平面BCE 而MN平面BCE， ∴MN∥平面BCE 例2 如下图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，侧面对角线AB1、BC1上分别有两点E、F，且B1E=C1F求证：EF∥平面ABCD 证法一：分别过E、F作EM⊥AB于点M，FN⊥BC于点N，连结MN ∵BB1⊥平面ABCD， ∴BB1⊥AB，BB1⊥BC ∴EM∥BB1，FN∥BB1∴EM∥FN 又B1E=C1F，∴EM=FN 故四边形MNFE是平行四边形 ∴EF∥MN又MN在平面ABCD中， ∴EF∥平面ABCD 例3 已知正四棱锥P—ABCD的底面边长及侧棱长均为13，M、N分别是PA、BD上的点，且PM∶MA=BN∶ND=5∶8 （1）求证：直线MN∥平面PBC； （2）求直线MN与平面ABCD所成的角 （1）证明：∵P—ABCD是正四棱锥，∴ABCD是正方形连结AN并延长交BC于点E，连结PE ∵AD∥BC，∴EN∶AN=BN∶ND 又∵BN∶ND=PM∶MA， ∴EN∶AN=PM∶MA ∴MN∥PE 又∵PE在平面PBC内，∴MN∥平面PBC （2）解：由（1）知MN∥PE，∴MN与平面ABCD所成的角就是PE与平面ABCD所成的角 设点P在底面ABCD上的射影为O，连结OE，则∠PEO为PE与平面ABCD所成的角 由正棱锥的性质知PO== 由（1）知，BE∶AD=BN∶ND=5∶8， ∴BE= 在△PEB中，∠PBE=60°，PB=13，BE=， 根据余弦定理，得PE= 在Rt△POE中，PO=，PE=， ∴sin∠PEO== 故MN与平面ABCD所成的角为arcsin 例4 在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AB1⊥BC1，AB=CC1=a，BC=b （1）设E、F分别为AB1、BC1的中点， 求证：EF∥平面ABC； （2）求证：A1C1⊥AB； （3）求点B1到平面ABC1的距离 （1）证明：∵E、F分别为AB1、BC1的中点， ∴EF∥A1C1∵A1C1∥AC，∴EF∥AC ∴EF∥平面ABC （2）证明：∵AB=CC1，∴AB=BB1 又三棱柱为直三棱柱， ∴四边形ABB1A1为正方形连结A1B，则A1B⊥AB1 又∵AB1⊥BC1，∴AB1⊥平面A1BC1 ∴AB1⊥A1C1 又A1C1⊥AA1，∴A1C1⊥平面A1ABB1 ∴A1C1⊥AB （3）解：∵A1B1∥AB，∴A1B1∥平面ABC1 ∴A1到平面ABC1的距离等于B1到平面ABC1的距离 过A1作A1G⊥AC1于点G， ∵AB⊥平面ACC1A1， ∴AB⊥A1G从而A1G⊥平面ABC1， 故A1G即为所求的距离，即A1G= 评述：本题（3）也可用等体积变换法或向量法求解 例5 如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，M，N，Q分别是棱A1A，A1B1，A1D1，CB，CC1，CD的中点， 求证：平面EFG∥平面MNQ 分析：只要证明平面EFG内的两条相交直线EF，FG分别与平面MNQ内的两条直线QN和MQ平行即可 证法一：由已知EF∥AB1，AB1∥DC1，DC1∥QN， EF∥QN，同理FG∥MQ 所以，面EFG∥MNQ 证法二：建立空间直角坐标系，如图，设正方体的棱长为2， 则E（0，0，1），F（1，0，2）， G（0，1，2），M（2，1，0）， N（2，2，1），Q（1，2，0） =（1，0，1）， =（1，0，1）， =（-1，1，0）， =， EF∥QN，FG∥MQ，又EF∩FG=F，QN∩MQ=Q， 所以，平面EFG∥平面MNQ 例6 如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，，平面，且 ，点是的中点. ∥平面ACE 例7 如图，在正三棱锥中，、、分别是棱、、上的点，且，，，是的中点.求证：平面∥平面； 求证：∥平面 如图，在四棱锥中， 底面为正方形，侧棱底面, 、分别为的中点．为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为．已知，，，，． （1）设点是的中点，证明：平面； 例10、如图，在边长为a的菱形ABCD中，，E,F是PA和AB的中点。 （1）求证： EF||平面PBC ;