吉林省伊通满族自治县第三中学校高中数学必修四：1.2 任意角的三角函数.ppt

§1.2 任意角的三角函数 §1.2 .1 任意角的三角函数 回忆：初中时学过的锐角三角函数的定义 A C B 在RT△ABC中， 思考：任意角的三角函数如何定义呢？ 探究：在直角坐标系中，锐角 的三角函数能用其终边上的点的坐标表示吗？ O x y M 记 = = = 思考：当点P在终边上的位置改变时，上述三个值会随之改变吗？ 如果改变点Ｐ在终边上的位置，这三个比值会改变吗？ ﹒ ∽ M O y x P(a,b) 任意角三角函数的定义 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么： （1）y叫做α的正弦（sine），记作sinα，即sinα＝y （2）x叫做α的余弦（cosine），记作cosα，即cosα＝x （3） 叫做α的正切（tangent），记作tanα，即tanα＝ （x≠0） O x y P(x，y) 统称为三角函数 【例0】：如图已知角α的终边与单位圆的交点是 ，求角α的正弦、余弦和正切值。 解：根据任意角的三角函数定义： O x y 点评：若已知角α的终边与单位圆的交点坐标，则可直接利用定义求三角函数值。 例1 求 的正弦、余弦和正切值. 解：在直角坐标系中，作 易知 的终边与单位圆的交点坐标为 所以 思考：若把角 改为 呢? ﹒ ﹒ 例2 已知角 的终边经过点 ，求角 的正弦、余弦和正切值 . 解:由已知可得 设角 的终边与单位圆交于 ， 分别过点 、 作 轴的垂线 、 ＼ 于是， ∽ 设角 是一个任意角， 是终边上的任意一点， 点 与原点的距离 那么① 叫做 的正弦，即 ② 叫做 的余弦，即 ③ 叫做 的正弦，即 任意角 的三角函数值仅与 有关，而与点 在角的终边上的位置无关. 定义推广： 1、任意角三角函数的定义： 若已知角α终边与单位圆交于点P(x，y)，则： 2、解题方法总结 （1）已知交点P的坐标，直接用定义 （2）已知角，则先求交点P的坐标再用定义 于是， 巩固 提高 练习 1、已知角 的终边过点 ， 求 的三个三角函数值. 解：由已知可得： 1.根据三角函数的定义，确定它们的定义域 （弧度制） 探 究 三角函数 定义域 R 2.确定三角函数值在各象限的符号 y x o y x o y x o + （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） R + - - + - - + + - + - 例3 求证：当且仅当下列不等式组成立时， 角 为第三象限角. ① ② 证明： 因为①式 成立,所以 角的终边可能位于第三 或第四象限，也可能位于y 轴的非正半轴上； 又因为②式 成立，所以角 的终边可能位于第一或第三象限. 因为①②式都成立，所以角 的终边只能位于第三象限. 于是角 为第三象限角. 反过来请同学们自己证明. 如果两个角的终边相同，那么这两个角的 同一三角函数值有何关系？ 终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一） 其中 利用公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为 求 角的三角函数值 . ？ 例4 确定下列三角函数值的符号： （1） （2） （3） 解： （1）因为 是第三象限角，所以 ； （2）因为 = ， 而 是第一象限角，所以 ； 练习 确定下列三角函数值的符号 （3）因为 是第四象限角，所以