专题03 相似三角形的存在性问题-玩转压轴题，争取满分之备战2018年中考数学解答题高端精品（解析版）.doc

玩转压轴题，争取满分之备战2018年中考数学解答题高端精品 专题三 相似三角形的存在性问题 【考题研究】 相似三角形的存在性问题是近几年中考数学的热点问题．解相似三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根。难点在于寻找分类标准，分类标准寻找的恰当，可以使得解的个数不重复不遗漏，也可以使得列方程和解方程又好又快． 【解题攻略】 相似三角形的判定定理有3个，其中判定定理1和判定定理2都有对应角相等的条件，因此探求两个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等． 判定定理2是最常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验。 应用判定定理1解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等． 应用判定定理3解题不多见，根据三边对应成比例列连比式解方程（组）． 【解题类型及其思路】 相似三角形存在性问题需要注意的问题： 1、若题目中问题为△ABC∽△DEF ，则对应线段已经确定。 2、若题目中为△ABC与 △DEF相似，则没有确定对应线段，此时有三种情况：①△ABC∽△DEF , ②△ABC∽△FDE、 ③△ABC∽△EFD、 3、若题目中为△ABC与 △DEF并且有 ∠A、 ∠D（或为90°），则确定了一条对应的线段，此时有二种情况：①、△ABC∽△DEF ，②、△ABC∽△DFE 需要分类讨论上述的各种情况。 【典例指引】 类型一 【确定符合相似三角形的点的坐标】 典例指引1． 已知，抛物线a＜0）与x轴交于A3，0）、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴是直线x=1D为抛物线的顶点，点E在y轴C点的上方，且CE= （1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标； （2）求证：直线DE是△ACD外接圆的切线； 3）在直线AC上方的抛物线上找一点P，使，求点P的坐标； （4）在坐标轴上找一点M，使以点B、C、M为顶点的三角形与△ACD相似，直接写出点M的坐标． 【解析】试题分析：（1）由对称轴求出B的坐标，由待定系数法求出抛物线解析式，即可得出顶点D的坐标； （2）由勾股定理和勾股定理的逆定理证出△ACD为直角三角形，∠ACD=90°．得出AD为△ACD外接圆的直径，再证明△AED为直角三角形，∠ADE=90°．得出AD⊥DE，即可得出结论； （3）求出直线AC的解析式，再求出线段AD的中点N的坐标，过点N作NP∥AC，交抛物线于点P，求出直线NP的解析式，与抛物线联立，即可得出答案；学=科网 （4）由相似三角形的性质和直角三角形的性质即可得出答案． 试题解析：（1抛物线的对称轴是直线x=1，点A3，0），∴根据抛物线的对称性知点B的坐标为（﹣10），OA=3，将A3，0），B（﹣1，0）代入抛物线解析式中得： ，解得： 抛物线解析式为；当x=1时，y=4顶点D1，4）． （3）设直线AC的解析式为y=kx+b，根据题意得： ，解得： 直线AC的解析式为y=x+3，∵A（3，0），D（1，4），∴线段AD的中点N的坐标为（22），过点N作NPAC，交抛物线于点P，设直线NP的解析式为y=x+c，则﹣2+c=2，解得：c=4直线NP的解析式为y=x+4，由y=x+4，y=﹣x2+2x+3联立得：﹣x2+2x+3=x+4，解得：x=或x=y=，或y=P（， ）或（ ）； （4）分三种情况：①M恰好为原点，满足△CMB∽△ACD，M（0，0）； ②M在x轴正半轴上，△MCB∽△ACD，此时M（9，0）； M在y轴负半轴上，△CBMACD，此时M0，﹣ ）； 综上所述，点M的坐标为（00）或（90）或（0 ）． 【本题是二次函数综合题目，考查了待定系数法求二次函数和一次函数的解析式、勾股定理、勾股定理的逆定理、切线的判定、相似三角形的性质等知识；本题综合性强，有一定难度．如图1，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B两点，（点A在点B的左侧），与直线AC交于点C（2，3），直线AC与抛物线的对称轴l相交于点D，连接BD． （1）求抛物线的函数表达式，并求出点D的坐标； （2）如图2，若点M、N同时从点D出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿DA、DB运动，连接MN，将△DMN沿MN翻折，得到△D′MN，判断四边形DMD′N的形状，并说明理由，当运动时间t为何值时，点D′恰好落在x轴上？ （3）在平面内，是否存在点P（异于A点），使得以P、B、D为顶点的三角形与△ABD相似（全等除外）？若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．学科！网 （3）由△ABD为等腰直角三角形及△PBD与△ABD相似且不全等，知△PBD是以BD为斜边的等腰直角三角形，结合图形即可得答案． 解：（1）将点A（﹣1，0）、C（2，3）代入y=