第七章 应力分析(第2讲)_2.pptVIP

已知受力物体内某一点处三个主应力?1, ?2, ?3 利用应力圆确定该点的最大正应力和最大切应力. 一、 空间应力状态下的最大正应力和最大切应力 §7.5 三向应力状态 ?3 ?1 ?2 ?2 ?3 ?1 一般的空间应力状态：单元体三对 平面上都有正应力和切应力，且切 应力可分解成沿坐标轴方向两个分 量，独立的应力分量有六个。 s x sz s y txy ?1 ?3 首先研究与其中一个主平面 （例如主应力?3 所在的平面）垂直的斜截面上的应力 ?1 ?2 ?2 用截面法,沿求应力的 截面将单元体截为两部分, 取左下部分为研究对象 ?1 ?2 ?3 ?3 主应力 ?3 所在的两平面上是一对自相平衡的力,因而该斜面上的应力 ? , ? 与?3 无关, 只由主应力?1 , ?2 决定 与?3 垂直的斜截面上的应力可由 ?1 , ?2 作出的应力圆上的点来表示 ?1 ?2 ?3 ?3 ? ? ?2 ?1 该应力圆上的点对应于与?3 垂直的所有斜截面上的应力 ? A ?1 ? O ?2 B 与主应力 ?2 所在主平面垂直的斜截面上的应力?, ? 可用由?1 ,?3作出的应力圆上的点来表示 C ?3 与主应力?１所在主平面垂直的斜截面上的应力 ?, ? 可用由?2 ,?3作出的应力圆上的点来表示 该截面上应力? 和? 对应的D点必位于上述三个应力圆所围成的阴影内 abc 截面表示与三个主平 面斜交的任意斜截面 a b c ?1 ?2 ?1 ?2 ?3 ? A ?1 ? O ?2 B C ?3 结论 三个应力圆圆周上的点及由它们围成的阴影部分上的点的坐标代表了空间应力状态下所有截面上的应力 该点处的最大正应力（指代数值）应等于最大应力圆上A点的横坐标?1 ? A ?1 ? O ?2 B C ?3 最大切应力则等于最大的应力圆的半径 最大切应力所在的截面与?1和?3所在的主平面成45°角. 例 单元体的应力如图所示,作应力圆, 并求出主应力和最大切应力值及其作用面方位. 解: 该单元体有一个已知主应力 因此与该主平面正交的各截面上的应力与主应力?z 无关, 依据 x截面和y 截面上的应力画出应力圆. 求另外两个主应力 40MPa x y z 20MPa 20MPa 20MPa 由 ?x ,? xy 定出 D 点 由 ?y ,? yx 定出 D′ 点 以 DD′为直径作应力圆 A1,A2 两点的横坐标分别代表另外两个主应力 ? 1 和 ? 3 A1 A2 D′ ? O ? D C ?1 ?3 ? 1 =46MPa ? 3 =-26MPa 该单元体的三个主应力 ? 1 =46MPa ? 2 =20MPa ? 3 =-26MPa 根据上述主应力，作出三个应力圆 一、各向同性材料的广义胡克定律 （1） 正应力:拉应力为正, 压应力为负 1.符号规定 （2） 切应力:对单元体内任一点取矩,若产生的矩为顺时针,则τ为正;反之为负 （3） 线应变:以伸长为正, 缩短为负; （4） 切应变:使直角减者为正, 增大者为负. §7.8 广义胡克定律 x ?x y z ?y ?xy ?yx ?z ?yz ?xz ?zx ?zy ?y ?y x 方向的线应变 2.各向同性材料的广义胡克定律 单独存在时 单独存在时 单独存在时 x y y z ?z ?z ?x ?x 对各向同性材料，在小变形及材料的线弹性范围内，正应变只与正应力有关，切应变只与切应力有关，线变形与角变形的相互影响可以略去 。这样复杂应力状态，可以看作是三组单向应力和三组纯剪切的组合，其应变分量可由各应力分量引起的应变分量叠加得到。 在 ?x ,?y ,?z同时存在时, x 方向的线应变?x为 同理,在 ?x ,?y ,?z同时存在时, y , z 方向的线应变为 在 xy,yz,zx 三个面内的切应变为 上式称为广义胡克定律 —— 沿x,y,z轴的线应变 —— 在xy,yz,zx面上的切应变 对于平面应力状态 （假设?z = 0,?xz= 0,?yz= 0） x y z ?xy ?x ?y ?yx ?x ?y ?x