[数学]微分方程数值解.ppt

【探索实验】 实验1：如右图所示，一根长为 处于平衡位置。若使小球偏离平衡位置一定角度 阻力的情况下小球会做一定周期的简谐运动。利用牛顿第二定律得到如下的微分方程 实验1：一根长为 一端悬挂质量为 的无弹性细线,一端固定，另 的小球。在重力的作用下小球 ，放开它，它就会沿圆弧摆动。在不考虑空气 问该微分方程是线性的还是非线性的？是否存在解析解？如果不存在解析解，能否求出其近似解？ 解：不妨设 方程可化为 ，则上面 这个非线性方程初值问题的解析解我们没有办法求解，在此求数值解。令 可将原方程化为如下方程组 建立M文件如下： %M文件fun9.m function f=fun9(t,y) f=[y(2),9.8*sin(y(1))]’ ;%f向量必须为一列向量 运行MATLAB代码 运行结果见下图 xlabel(t),ylabel(y1) clear; close; [t,y]=ode45(fun9,[0,10],[15,0]); plot(t,y(:,1));%画 随时间变化图， y(:,2)则表 示 的值 实验2：根据如下假设建立传染病模型，分析受感染人数的变化规律，预报传染病的高潮的到来等： (1) 人群分为易感染者(Susceptible)和已感染者(Infictive)两类，时刻t这两类人在总人数中所占的比例分别为s(t)和y(t)； (2) 每个病人每天有效接触的平均人数是常数 , 健康者受感染变为病人； 称为日接触率。当病人与健康者有效接触，使 , (3) 病人每天被治愈的占病人总人数的比例为 称为日治愈率,显然 是这种传染病的平均 传染期。 解：根据假设，每个患者每天可使 个健康者 变为病人，因为患者人数为 ，所以每天共有 个健康者变为病人，即有 又因为 ，初始时刻(t=0)病人比例为 b（常数），则有 * 西安理工大学应用数学系 西安理工大学应用数学系 * 实验三　常微分方程数值解 【实验目的】 3 学习、掌握Matlab软件有关的命令。 1 了解微分方程数值解的概念； 2 掌握解常微分方程初值问题的Euler方法、改进的Euler方法和经典Runge-Kutta方法，能用程序 实现这些方法，学习一些科学计算方法和简单的编程技术。 【实验准备】 1．?常微分方程初值问题及其数值解法 常微分方程初值问题： （1） 如果f(x,y)在 [a,b]×(-∞,+∞)上连续，且关于y 满足 Lipschtz 条件： 则（1）在区间[a,b]上存在唯一解 y=y(x). 常微分方程初值问题数值解：常微分方程初值问 题的解 在[a, b]上的有限个值 的近似值 称为常微分方程初值问题数值解，其中 称为节点， 称为步长。 为等分区间[a,b]分割数。 通常,步长h不变,取为等距步长 常微分方程初值问题数值解法：常微分方程初值问题的数值解法很多，我们在这里只介绍以下四种方法： （1） Euler方法：将区间[a,b] N 等分，步长为 h=(b-a)/N ，得到N+1个分点 , 已知 y=y(x) 在 处的函数值为 ,取区间 方程两端在此区间上积分，有 即 右边的积分用左矩形公式代替，则有 这个近似值我们表示为 于是我们得到求解问题(1)的Euler法： （2）改进的Euler方法（梯形法）：Euler法中是对右端项采用左矩形公式近似，精度不高,现采用 梯形公式近似，得 于是得改进的Euler法（梯形法） 该方法比Euler法精度高，但当f(x, y)结构复杂时，是关于 的非线性方程，不易求解。 （3）预估－校正法：当f(x, y)结构复杂时，改进的Euler法是关于 的非线性方程，不易求解。 此处改用以下方法 这是两种方法的结合使用。（４）式还可以改写成如下形式 这种表示方法有利于编制计算机程序。 （4）Runge-kutta法(R-K法)：R-K法是一类高精度的方法，这里仅给出一种四级四阶经典R-K法 (6) 2．常微分方程组及高阶常微分方程初值问题的数值解法 （1）常微分方程组初值问题： (7) 写成矩阵形式为 (8) 其中 （2）高阶常微分方程初值问题： 可以化成形如(7)或(8)的形式： 令 , 则有 或　 （3）常微分方程组初值问题（８）的数值解法： 我们可以看到，高阶方程（组）的矩阵形式与(1-1)形式一样，只不过此处是向量，前边的是数量。构造算法时，完全将前边所建立的适合(1)的算法搬到(8)中即可，只是注意将相应的数量换成向量即可。下边我们构造两种算法。 ①　Euler法 或写成数量形式 ②　四阶经典R-K法 或写成向量形式 3．常微分方程（组）求解的Matlab命令 (1) 符号解析解命令dsol