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概率密度函数的输运方程模型 （PDF，probability density functions） 对于湍流燃烧问题，模型的主要任务是： 湍流混合 分子输运 化学反应动力学 模拟平均化学反应速率项 要考虑： 导致：难以得到普遍使用的平均反应速率模型。 为什么用PDF方法？ 湍流的脉动特性： 使得湍流场中所有的量可以看成是随机量、无规则的脉动量。 这导致给出空间任一点一物理量的瞬时值非常困难（这也没有必要） 综上：在湍流燃烧的数学模型研究中使用概率分布统计方法。确定了湍流场中随机变量的概率分布，就可以得到我们感兴趣的时均速度场、温度场、组份浓度场和湍流脉动时均特性等 对湍流本质而言：我们所关心的不是某个随机变量的瞬时值，而是某个量的平均值或取某个值的概率 概率密度函数（PDF） 随机变量φ的概率密度函数（ PDF） —f（ψ）是分布函数F（ ψ）的导数，即 基本概念 对其积分： 故：无量纲混合分数的几率密度分布函数PDF定义为： 是指：在时间t时刻，物理量φ处于（ψ, ψ+d ψ)范围内的可能性 重要性质 概率密度函数（PDF） 对燃烧现象的更深入的实验研究发现： 在不同的燃烧过程中，因变量的概率分布形式不同； 即使对于同一个燃烧过程，在不同的区域，各个因变量的概率分布函数也不尽相同。 PDF→受输运方程控制的因变量 问题：概率分布函数是否也是一个受输运方程控制的因变量，与火焰特性、流动图象、湍流特性及边界条件有关呢？ 答案是肯定的！！ 速度与标量联合PDF的输运方程为例进行说明 速度与标量联合PDF的输运方程 在给定的空间和时间坐标(x, t)上，联合PDF——f (v, ψ, x, t) 是三维速度空间(V-空间)和α 维标量空间(ψ-空间)的联合密度函数 对于低马赫数的气体流动，任意位置上的流体状态可完全由三个速度分量(u=(u1，u2 , u3) )和 α个标量，及化学反应热力学参数的集合（φ= φ1, φ2,… φα)来确定 左边所有项都可以无需近似，就可精确计算 这些项包括：x-空间上的输运项；由重力和平均压力梯度引起的速度空间上的输运项；由化学反应引起的标量空 间上的输运项 右边两项出现的条件期望需要采用适当的模型进行近似模拟 这些项包括：由粘性应力和脉动压力梯度引起的速度空间上的输运；由分子扩散引起的组份空间上的输运 模化方法 输运方程中压力脉动梯度项和分子粘性和分子扩散项会引起PDF中的分子输运项不封闭，需要引入模型加以封闭 小尺度混合模型：用于模拟分子扩散过程的模型 确定性模型 （形式简单、计算简便，但对PDF没有弛豫作用，不能单 独使用） 颗粒相互作用模型 （此模型在各方面相对来说都能令人满意，但对简单的随机混合模型的精度还不太高，它所得到的PDF远高于高斯正态分布） 随机速度模型：用于模拟压力梯度和分子粘性引起的PDF 在速度空间上的输运方程的模型 Langevin 模型 （此模型对标量不适用，但对于速度却是很好的模型） 包括简化的Langevin模型( SLM)和通用的Langevin模型( GLM) 　PDF输运方程求解方法 蒙特卡洛(Monte Carlo)方法 在该方法中输运方程被转化为拉格朗日(Lagrangian)方程, 流体由大量遵循Lagrangian方程的随机粒子的系综来描述, 最后对粒子作统计平均得到流场物理量和各阶统计矩。 混合方法 将蒙特卡洛(Monte Carlo)方法法求解PDF 方程和传统的有限体积法求解统计矩方程相结合求解流场 总结 PDF方法的特点 PDF方法以完全随机的观点对待湍流场，通过求解速度与标量（化学热力参数）的联合PDF的输运方程来获得湍流中的单点统计信息，重点解决湍流和化学反应的交互作用问题； 精确的PDF输运方程直接由N-S方程组推导出来，方程中与湍流输运和化学反应速率有关的项都以封闭的形式出现，因而可以精确求解，从而也壁面了对一些重要过程的模拟。 知道了速度与化学热力学参数的联合概率密度函数后，它们的平均量和任意阶的统计矩都可以求出。 PDF方法的不足 总结 小尺度混合模型： 现有的模型中均没有考虑化学反应对分子混合的影响。 超声速流中的问题： 一是压力膨胀项对燃烧生成的湍动能影响明显, 目前没有一个模型可以较准确描述这一过程; 二是膨胀耗散项在非反应的超声速流中可以忽略, 但在超声速反应流中变得非常重要。目前现有的模型不能反应这一趋势; 三是目前还没有合适准确的随机压力模型、随机内能模型。