高等数学第四章节中值定理与导数的应用幻灯片.pptVIP

(1) 单调区间的分界点除驻点外，也可是导数不存在的点。 例如， (2) 如果函数在某驻点两边导数同号， 则不改变函数的单调性。 例如， 说明： 函数的单调性在证明中的应用 1.利用函数的单调性证明不等式 例3 证明：当 证 取 在区间 上单调增加，从而 即当 时,有 小结 利用函数增减性证明函数不等式（在某 指定区间内）的步骤为: (1)移项，使不等式一边为0,另一边设为函数 ； 作比较即得所证。 (2)求 在所指定区间的增减性； ,并验证 (3)求出区间端点的函数值，然后 由单调性 2.利用函数的单调性证明方程根的唯一性 例4 试证方程 有且仅有一个根。 证令 ,有 轴最多有一个交点，即 与 在 上单调增加，因此曲线 有一个实根.又 最多 即c为上方程的根。故方程有且只有一个根. 在 由零点定理可知， ,使 上连续, 3.2 函数的极值 定义1 设函数 在区间 内有定义, 如果存在点 的某个邻域 ,使得对于 ,有 ,则称 为 的极小值. 称为 的极小值点; ,则称 若对 的极大值. 称为 的极大值点. 为 极大值和极小值统称为极值;极大值点和极小值点统称为极值点。 3.2 函数的极值 (是极值点情形) (不是极值点情形) + – + + + – – – 及 不存在的点。 解 函数的定义域为 令 ,得驻点 . 例5 求函数 的极值。 + 0 － 0 + ↗ 有极大 值 ↘ 有极小 值 ↗ 1 列表讨论: 在 处取得极大值 在 处取得极小值 解 在 内连续.当 时, 例6 求函数 的极值。 当 时, 不存在. 令 ,有 . 列表讨论如下: ? 不存 在 0 ↘ 极小 值 —2 ↗ 极大 值 0 ↘ 极小值 －2 ↗ (0,1) 0 1 + + － － 0 在 处取得极大值 . 可知 在 处取得极小值 , 定理4(第二充分条件) 设 在 处具有二阶 导数,且 ,那末 (3)当 时, ?? 可能是极值,也可能不是 极值. (2)当 时, 函数 在 处取得极小值. (1)当 时, 函数 在 处取得极大值; 解 令 是函数的极大值点, 为极大值; 是函数的极小值点, 为极小值. 例7求函数 的极值。 4.3函数的最大值和最小值 求最值的一般步骤: 2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值; 设 在 上连续. 1.求驻点和不可导点: ; 上的最大值,最小者为最小值.即 3.比较它们的大小,其中最大者为 在 例8求函数 在 上的 最大值、最小值. 解 不予考虑.又 上的最大值和最小值. 故 和 分别为 在 d h b 解 由 ,得 及 令 ,得 例9 把一根直径为d 的圆木锯成截面为矩形的梁, 问矩形截面的高h 和宽d 应如何选择才能使梁的 抗弯截面模量最大？(抗弯截面模量为 由于梁的最大抗弯截面模量一定存在，又 在 内只有一个根 得 的值最大。由 时 ,从而有 ( k 为某一常数 ) AC⊥ AB , 要在 AB 线上选定一点 D 向工厂修一条 已知铁路与公路每公里货运价之比为 3:5 , 为使货 D 点应如何选取? 20 解: 设 则 总运费 物从B 运到工厂C 的运费最省, 问 km , 公路, 例10 铁路上 AB 段的距离为120 km , 工厂C 距 A 处20 令 得 又 所以 为唯一的 极小点 , 故 AD =15 km 时运费最省 . 从而为最小点 , 解: cos sin x · cos x 2. 练习：1、 作业：P99 （习题四） 一、中值定理：1.(2)(3);2.(3); 二、洛必达法则；5.（1）（3）（5）（6）（7） （8） 三、单调性、极值：6.（1）(2)(4);7.(2);9.(1)(4) 四、最值：10.（1）;11.13. 4.(1) 第 四 章 微分中值定理 与导数的应用 §1微分中值定理 1.1罗尔(Rolle)定理 21.2拉格朗日(Lagrange)中