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第十二章 动态优化模型 12.1 变分法简介 12.2 生产计划的制定 12.1 变分法简介 约翰·伯努利（Johann Bernoulli，1667－1748）1696年向全欧洲数学 家挑战，提出一个难题：“设在垂直平面内有任意两点，一个质点受 地心引力的作用，自较高点下滑至较低点，不计摩擦，问沿着什么 曲线下滑，时间最短？” 这就是著名的“最速降线”问题（The Brachistochrone Problem）。它的难处在于和普通的极大极小值求法不同，它是要 求出一个未知函数（曲线），来满足所给的条件。这问题的新颖和 别出心裁引起了很大兴趣，罗比塔（Guillaume Francois Antonie de lHospital 1661-1704）、雅可比·伯努利（Jacob Bernoulli 1654-1705）、莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz,1646- 1716）和牛顿（Isaac Newton1642—1727）都得到了解答。约翰的 解法比较漂亮，而雅可布的解法虽然麻烦与费劲，却更为一般化。 后来欧拉（Euler Lonhard，1707～1783）和拉格朗日(Lagrange, Joseph Louis，1736-1813)发明了这一类问题的普遍解法，从而确立了数学的一个新分支——变分学。 有趣的是，在1690年约翰·伯努利的哥哥雅可比·伯努利曾提出著名的悬链线问题(The Hanging Chain Problem)向数学界征求答案，即，固定项链的两端，在重力场中让它自然垂下，问项链的曲线方程是什么。在大自然中，除了悬垂的项链外，我們还可以观察到吊桥上方的悬垂钢索，挂着水珠的蜘蛛网，以及两根电线杆之间所架设的电线，这些都是悬链线（catenary）。 伽利略（Galileo, 1564～1643）比贝努利更早注意到悬链线，他猜测悬链线是抛物线，从外表看的确象，但实际上不是。惠更斯（Huygens, 1629～1695）在1646年（当时17岁），经由物理的论证，得知伽利略的猜测不对，但那时，他也求不出答案。 到1691年，也就是雅可比·伯努利提出悬链线问题的第二年，莱布尼兹、惠更斯（以62岁）与约翰·伯努利各自得到了正确答案，所用方法是诞生不久的微积分，具体说是把问题转化为求解一个二阶常微分方程 解此方程并适当选取参数，得 即为悬链线。 现实中很多现象可以表达为泛函极小问题，我们称之为变分问题。求解方法通常有两种：古典变分法和最优控制论。主要介绍古典变分法 １、变分法的基本概念 　 设为一函数集合S，若对于每一个函数 有一个实数J与之对应，则称J是定义在S上的泛函，记作J(x(t))。S称为J的容许函数集。 泛函的基本概念 最简泛函 上述曲线长度泛函即为一最简泛函。 ２、泛函极值问题 针对上述曲线长度泛函，提出下面问题： 以极小值为例，一般的泛函极值问题可表述为: 3、泛函的变分 上述曲线长度泛函即为一最简泛函。 泛函极值的必要条件—欧拉方程 　考虑最简泛函，其中F具有二阶连续偏导数，容许函数类S取 　为满足端点条件为固定端点的二阶可微函数。 最简泛函 上述曲线长度泛函即为一最简泛函。 泛函极值的必要条件—欧拉方程 　考虑最简泛函，其中F具有二阶连续偏导数，容许函数类S取 　为满足端点条件为固定端点的二阶可微函数。 泛函极值的必要条件—欧拉方程 考虑最简泛函（3），其中F具有二阶连续偏导数，容许函数类S取为满足端点条件为固定端点的二阶可微函数。 几种特殊形式最简泛函的欧拉方程 欧拉方程等价于 几个经典的例子 1、最速降线问题 不含自变量，所以欧拉方程可写作 2、悬链线势能最小 1691年，雅可比·伯努利证明：悬挂于两个固定点之间的同一条项链，在所有可能的形状中，以悬链线的重心最低，具有最小势能。下面我们用变分法证明之。 12.2 生产计划的制定