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分段函数举例 符号函数 当 当 当 取整函数 表示不超过 的最大整数. 1 -1 x y o 函数 当 是无理数时 分段函数的阶梯型曲线 狄利克雷函数 当 是有理数时 1 2 3 4 5 -2 -4 -4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1 -3 x y o 定义域 R 值域 例3 设 定义域. 解 求函数 的 故函数 的定义域: 四、函数的特性 设函数 的定义域为 数集 若 使得 恒有 成立, 则称 函数 在 上有上界 若 使得 恒有 成立, 则称 函数 在 上有下界 若 使得 恒有 成立, 则称 函数 在 上有界, 否则称为无界. 1、函数的有界性 由上述定义易见有下列结论: 有下界. 在 上有界 在 上既有上界又 例4 证明 函数 在 上是有界的; 函数 在 上是无界的. 证 因为 所以 故 对一切 都成立. 由上可知题设函数在 上是有界函数. 函数 在 上是无界的. 证 对于无论怎样大的 总可在 内找到相应的 例如取 使得 所以 在 上是无界函数. 2、函数的单调性 设函数 的定义域为 区间 如果对于区间 上任意两点 及 当 时, 恒有 则称函数 在区间 上是单调增加函数; 如果对于区间 上任意两点 及 当 时, 恒有 则称函数 在区间 上是单调减少函数; 例如: 在 内是单调增加的, 在 内是 单调减少的, 在 内不是单调的. 在 内是单调增加的. 例5 证明函数 在 内是单调增加 的函数. 证 在 内任取两点 且 则 因为 是 内任意两点, 所以 又因为 故 即 所以 在 内是单调增加的. 3、函数的奇偶性 设函数 的定义域 关于原点对称. 若 有 则称 为偶函数； 若 有 则称 为奇函数. 例如， 函数 是奇函数； 函数 是偶函数. 例6 判断函数 的奇偶性. 解 由定义知 为奇函数. 4、函数的周期性 设函数 的定义域为 如果存在一个不为零 的数 使得 有 且 则称 为周期函数, 称为 的周期. 通常说的周期函数的周期是指其最小正周期. 例如, 都是以 为周期的周期函数. 例7 设 当 是有理数时 当 是无理数时 (狄利克雷函数) 求 并讨论其性质. 解 函数是单值、有界的, 偶函数, 但不是单调函数, 是周期函数, 但无最小正周期. 例8 若 对其定义域上的一切 恒有 则称 对称于 证明: 则 是以 为周期的周期函数. 证 由 对称于 及 则有 在式 中, 把 换为 得 对称于 及 若 由式 可见, 以 为周期. 作业：习题1－1 1（1）、（4）； 2（1）； 3； 4（2） ； 6；7；8； 9；11. 补充作业题： 课间休息 高 等 数 学 中国民航大学理学院 陶志 E-mail:163.com 前 言 高等数学与初等数学的区别－－－ 高等数学（微积分） 是工科大专院校一门重 要的基础课，作为基础和工具学科它对其他学科 的学习会产生重要影响。 －－－对客观事物的认识方法上有本质差别。 ◆ 第一类是研究物体运动的时候直接出现的，也 就是求瞬时速度的问题。 一、微积分产生的历史背景 微积分的产生年代应该追朔到17世纪中叶到18 世纪初期，从产生到完备大约经历了100年的时间。 导致微积分产生的核心问题如下： ◆ 第二类问题是求曲线的切线的问题。 ◆ 第三类问题是求函数的最大值和最小值问题。 ◆ 第四类问题是求曲线围成的面积、曲面围成的 体积、求曲线长、物体的重心等。 二、微积分产生过程中的几个关键性历史人物 英国 1642-1727 德国 1646-1716 法国 1789 – 1857 我们说，无论是欧氏几何也好，还是上古和 中世纪的代数学也好，都是一种常量数学，微积 分才是真正的变量数学，是数学中的大革命。微 积分不只局限在解决力学中的变速问题，它在近 代和现代科学园地里，同样建立了数不清的丰功 伟绩。 三、怎样才能学好高等数学 学习中的五步曲------- 预习、听课、复习、做作业、答疑。 1、参考书：《高等数学讲稿》，施光燕主编，大 连理工大学出版社出版。 2、数苑网： －－－寻找更多教 材之外的学习资源，拓展自己的学习空间。 四、推荐参考书 期中考试：占期末总成绩 20%（两次）； 平时作业：占期末总成绩 10% ； 期末考试：占期末总成绩 70% ； 五、考试 答疑：每周五晚上 6 — 8 点，地点在南1-211。 第一章 函数、极限