高等数学方明亮7.6多元微分学在几何上的应用幻灯片.pptVIP

* * * * 第六节 多元微分学在几何上的应用 第七章 (Applications of differential calculus in geometry) 一、空间曲线的切线与法平面 二、曲面的切平面与法线 三、小结与思考练习 * * 复习: 平面曲线的切线与法线 已知平面光滑曲线 切线方程 法线方程 若平面光滑曲线方程为 故在点 切线方程 法线方程 在点 有 有 因 * * 一、空间曲线的切线与法平面 过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在该点的法 位置. 空间光滑曲线在点 M 处的切线为此点处割线的极限 平面. 点击看动画 (Tangent and normal plane of space curve) * * 切线方程 1. 曲线方程为参数方程的情况 * * 此处要求 也是法平面的法向量, 切线的方向向量: 称为曲线的切向量 . 如个别为0, 则理解为分子为 0 . 不全为0, 因此得法平面方程 说明: 若引进向量函数 , 则 ? 为 r (t) 的矢端曲线, 处的导向量 就是该点的切向量. * * 解题思路: 切线方程 法平面方程 * * * * 光滑曲线 当 曲线上一点 , 且有 时, ? 可表示为 处的切向量为 2. 曲线为一般式的情况 * * 则在点 切线方程 法平面方程 有 或 * * 也可表为 法平面方程 * * 在点 M ( 1,–2, 1) 处的切线方程与法平面方程. 切线方程 解法1 令 则 即 切向量 例2 求曲线 * * 即 解法2. 方程组两边对 x 求导, 得 曲线在点 M(1,–2, 1) 处有: 切向量 解得 法平面方程 * * 切线方程 即 法平面方程 即 点 M (1,–2, 1) 处的切向量 * * 二、曲面的切平面与法线 设有光滑曲面 通过其上定点 对应点 M, 切线方程为 不全为0 . 则 ? 在 且 点 M 的切向量为 任意引一条光滑曲线 下面证明: 此平面称为 ? 在该点的切平面. ? 上过点 M 的任何曲线在该点的切线都 在同一平面上. (Tangent plane and normal line of surface) * * 在 ? 上, 得 令 由于曲线 ? 的任意性 , 表明这些切线都在以 为法向量 的平面上 , 从而切平面存在 . 证: * * 曲面 ? 在点 M 的法向量 切平面方程 法线方程 * * 曲面 时, 则在点 故当函数 法线方程 令 在点 有连续偏导数时, 切平面方程 特别, 当光滑曲面? 的方程为显式 * * 法向量 用 将 表示法向量的方向角, 并假定法向量方向 分别记为 则 向上, 法向量的方向余弦： * * 在点(1 , 2 , 3) 处的切 平面及法线方程. 解: 所以球面在点 (1 , 2 , 3) 处有: 切平面方程 即 法线方程 法向量 令 例3 求球面 * * 解题思路: 切平面方程 法线方程 * * 1. 空间曲线的切线与法平面 切线方程 法平面方程 1) 参数式情况. 空间光滑曲线 切向量 内容小结 * * 切线方程 法平面方程 空间光滑曲线 切向量 2) 一般式情况. * * 空间光滑曲面 曲面 ? 在点 法线方程 1) 隐式情况 . 的法向量 切平面方程 2. 曲面的切平面与法线 * * 空间光滑曲面 切平面方程 法线方程 法线的方向余弦 法向量 2) 显式情况. * * 习题7－6 1（1）（4）； 2； 3 （1）（2）； 6 课外练习 思考与练习 在点(1,1,1) 的切线 与法平面.（解答见下页） 1. 求曲线 * * 在点(1,1,1) 的切线 解: 点 (1,1,1) 处两曲面的法向量为 因此切线的方向向量为 由此得切线: 法平面: 即 与法平面. 1. 求曲线 * * 提示: 设切点为 则 2. 如果平面 与椭球面 相切, (二法向量平行) (切点在平面上) (切点在椭球面上) * * 证明 曲面 上任一点处的 切平面都通过原点. 提示: 在曲面上任意取一点 则通过此 证明原点坐标满足上述方程 . 点的切平面为 3. 设 f ( u ) 可微, * * 与定直线平行, 证: 曲面上任一点的法向量 取定直线的方向向量为 则 (定向量) 故结论成立 . 的所有切平面恒 4. 证明曲面 * *